対称性から組み立てる力学（発展）

相対論の力学

著者：柚木芹香

問い

この章では，自由な粒子のラグランジアン $\frac{1}{2} m v^{2}$ を，ガリレイ変換の対称性から導きました．ところが前の題材で，慣性系の間の本当の関係はガリレイ変換ではなく，ローレンツ変換だと分かりました．対称性を取り替えたら，自由な粒子のラグランジアンはどう変わるのでしょうか．そして，そこからどんな力学が出てくるのでしょうか．

考えてみる

「空間と時間の対称性」の題材では，2つの慣性系のラグランジアンが全微分しか違わない，という条件から $L = \frac{1}{2} m v^{2}$ を導きました．今度は，同じ考えをローレンツ変換で行います．ただ，計算でやるより早い道があります．作用 $S$ そのものを，どの慣性系で計算しても同じ値になる量で作ればよいのです．

自由な粒子の経路に対して，どの慣性系で計算しても同じになる量は何でしょうか．前の題材で見つけた，粒子が持つ時計の刻む時間，つまり固有時です．

自由な粒子のラグランジアン

自由な粒子の作用を，経路に沿った固有時に比例するとおきます．

S = - α \int d τ = - α \int \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}} d t

$α$ は粒子ごとの定数です． $d τ$ は，どの慣性系で計算しても同じなので，この作用は相対性原理を満たしています．時間で積分する形に直すと，ラグランジアンは $L = - α \sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}$ です．

$α$ を決めるために，速さが $c$ よりずっと小さい場合を考えます． $\sqrt{1 - v^{2} / c^{2}} \approx 1 - \frac{v^{2}}{2 c^{2}}$ なので

L \approx - α + \frac{α}{2 c^{2}} v^{2}

です．定数 $- α$ は運動に影響しません．残りが，ガリレイの世界で導いた $\frac{1}{2} m v^{2}$ に一致するには， $α = m c^{2}$ でなければなりません．

定理相対論の自由な粒子のラグランジアン

L = - m c^{2} \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}

$v$ が $c$ よりずっと小さいとき，定数を除いて $\frac{1}{2} m v^{2}$ に戻る．

対称性をガリレイ変換からローレンツ変換に替えると，自由な粒子のラグランジアンも替わり，それがそのまま新しい力学になります．ガリレイの力学は，その $v$ が $c$ よりずっと小さいときの近似でした．

作用に負号が付いているので，作用が最小になる経路は，固有時が最大になる経路です．自由な粒子は，2つの出来事の間を，持っている時計がいちばん長く時を刻む道すじで進みます．地球に残った人と，宇宙船で往復してきた人が再会すると，加速しなかった地球の人のほうが年をとっている，という「双子のパラドックス」の答えがここにあります．

**［図：往復する宇宙船の固有時］**
例として地球の10年間に，宇宙船が速さ0.60cで5年ずつ往復する．点の間隔は両者とも固有時1年．地球の10目盛りに対し宇宙船は8目盛りとなる．折り返しは瞬間的な方向転換として描く．

運動量とエネルギー

「対称性と保存則」の題材で見たように，一般化運動量とエネルギーは，ラグランジアンから決まります．

p = \frac{\partial L}{\partial v} = \frac{m v}{\sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}} = γ m v, E = p \cdot v - L = \frac{m c^{2}}{\sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}} = γ m c^{2}

（計算は数学の節）．空間と時間が一様なら，ネーターの定理から，閉じた系の運動量の和とエネルギーの和が保存します．保存則の成り立つ理由は，ガリレイの世界と同じです．変わったのは，運動量とエネルギーの式の形です．

定理相対論の運動量とエネルギー

p = γ m v, E = γ m c^{2}, E^{2} = (p c)^{2} + {(m c^{2})}^{2}

この式から，次のことが分かります．

静止エネルギー：止まっている粒子（ $v = 0$ ）も $E = m c^{2}$ のエネルギーを持つ． $v$ が $c$ よりずっと小さいとき $E \approx m c^{2} + \frac{1}{2} m v^{2}$ で，運動エネルギーは $E - m c^{2} = (γ - 1) m c^{2}$ ．
光速の壁： $v \to c$ で $γ \to \infty$ なので， $E$ も $p$ も限りなく大きくなる．質量のある粒子を光の速さまで加速するには，無限のエネルギーが要る．
質量のない粒子： $m = 0$ なら $E = p c$ で， $E$ と $p$ が有限なら $v = c$ でなければならない．光は，このような粒子（光子）の集まりと見なせる．

質量はエネルギーの一つの形

ガリレイの世界では，閉じた系の質量は粒子の質量の和でした．相対論では，保存するのはエネルギーの和で，質量の和ではありません．同じ質量 $m$ の2つの粒子が逆向きに同じ速さで衝突してくっつくと，できた1つの粒子は止まっていて，そのエネルギーは衝突前の $2 γ m c^{2}$ に等しいので，質量は $2 γ m$ です．衝突前の運動エネルギーが，くっついた粒子の質量に変わったのです．逆に，原子核が分裂すると，分裂後の質量の和は少しだけ小さくなり，その差 $Δ m$ に $c^{2}$ を掛けた分のエネルギーが出てきます．

力の中での運動

外から与えられた場の中では，ガリレイの世界と同じように位置エネルギーを引いて， $L = - m c^{2} \sqrt{1 - v^{2} / c^{2}} - U (r)$ とします．オイラー＝ラグランジュ方程式は

\frac{d}{d t} (γ m v) = - \frac{\partial U}{\partial r}

で，運動量の時間変化が力に等しい，という形になります．一定の力 $F$ で押し続けると，運動量は $p = F t$ と時間に比例して増え続けますが，速さは $c$ に近づくだけで， $c$ を超えません（数学の節の例題）．

問いに戻る

対称性をローレンツ変換に替えると，自由な粒子の作用は固有時に比例するしかなく，ラグランジアンは $- m c^{2} \sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}$ になります．そこから運動量 $γ m v$ ，エネルギー $γ m c^{2}$ ，静止エネルギー $m c^{2}$ が出てきて，物体が光の速さを超えられないことも分かります． $v$ が $c$ よりずっと小さいときは，この章の前半で導いたガリレイの力学に戻ります．どちらの力学も，「対称性が決めた自由な粒子のラグランジアン」と「停留作用の原理」から組み立てられているのです．

ポイントここまでのまとめ

相対性原理を満たす自由な粒子の作用は，固有時に比例する： $S = - m c^{2} \int d τ$ ， $L = - m c^{2} \sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}$ ．
$v$ が $c$ よりずっと小さいとき，定数を除いて $\frac{1}{2} m v^{2}$ に戻る．ガリレイの力学はその近似．
自由な粒子は固有時が最大になる道すじを進む（双子のパラドックス）．
運動量 $p = γ m v$ ，エネルギー $E = γ m c^{2}$ ， $E^{2} = (p c)^{2} + (m c^{2})^{2}$ ．静止エネルギー $m c^{2}$ ．
保存するのはエネルギーの和で，質量の和ではない．質量はエネルギーの一つの形．
場の中では $d (γ m v) / d t = - \partial U / \partial r$ ．押し続けても速さは $c$ を超えない．