対称性から組み立てる力学（発展）

相対論の運動量とエネルギーの計算

著者：柚木芹香

相対論のラグランジアンから運動量とエネルギーを出す計算と，エネルギーと運動量の関係を確かめます． $γ$ を含む式は， $γ$ のままで計算を進め，最後に数値を入れると楽です．

定理数学の道具： $\sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}$ の微分

$v^{2} = v_{x}^{2} + v_{y}^{2} + v_{z}^{2}$ について，合成関数の微分により

\frac{\partial}{\partial v_{x}} \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}} = \frac{1}{2} {(1 - \frac{v^{2}}{c^{2}})}^{- 1 / 2} \cdot (- \frac{2 v_{x}}{c^{2}}) = - \frac{γ v_{x}}{c^{2}}

これを使うと， $L = - m c^{2} \sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}$ から $\partial L / \partial v_{x} = γ m v_{x}$ で， $p = γ m v$ です．エネルギーは

E = p \cdot v - L = γ m v^{2} + \frac{m c^{2}}{γ} = γ m [v^{2} + c^{2} (1 - \frac{v^{2}}{c^{2}})] = γ m c^{2}

です． $\frac{1}{γ} = γ (1 - \frac{v^{2}}{c^{2}})$ を使いました．

定理数学の道具：エネルギーと運動量の関係

E^{2} - (p c)^{2} = γ^{2} m^{2} c^{4} - γ^{2} m^{2} v^{2} c^{2} = γ^{2} m^{2} c^{4} (1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}) = {(m c^{2})}^{2}

また， $p c^{2} = E v$ ，つまり $v = \frac{p c^{2}}{E}$ である．

練習1　 $v = 0.60 c$ の粒子の運動エネルギーは，静止エネルギーの何倍か． $\frac{1}{2} m v^{2}$ と比べよ．

練習2　 $E = p c$ の粒子の速さを， $v = p c^{2} / E$ から求めよ．

答え　練習1： $γ = 1.25$ なので $(γ - 1) m c^{2} = 0.25 m c^{2}$ ． $\frac{1}{2} m v^{2} = 0.18 m c^{2}$ で，相対論の値のほうが大きい．練習2： $v = p c^{2} / (p c) = c$ ．

例題

例題 1

オリジナル ★★☆☆☆

静止していた電子（質量 $9.1 \times 10^{- 31} kg$ ）を加速して，運動エネルギーを $1.6 \times 10^{- 13} J$ にした． $c = 3.0 \times 10^{8} m s^{- 1}$ とする．

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考え方 運動エネルギーは $(γ - 1) m c^{2}$ ． $γ$ が分かれば $β = \sqrt{1 - 1 / γ^{2}}$ ．

$m c^{2} = 9.1 \times 10^{- 31} \times (3.0 \times 10^{8})^{2} \approx 8.2 \times 10^{- 14} J$ ． $γ = 1 + \frac{1.6 \times 10^{- 13}}{8.2 \times 10^{- 14}} \approx 2.95$ ．
$β = \sqrt{1 - 1 / {2.95}^{2}} \approx \sqrt{1 - 0.115} \approx 0.94$ ．速さは $0.94 c$ ． $\frac{1}{2} m v^{2}$ とすると $v = \sqrt{2 \times 1.6 \times 10^{- 13} / 9.1 \times 10^{- 31}} \approx 5.9 \times 10^{8} m s^{- 1}$ で，光の速さの約2倍という，ありえない値になる．

確かめ：運動エネルギーが静止エネルギーと同じ程度になると，ガリレイの力学の式は使えない．

例題 2

オリジナル ★★☆☆☆

質量 $m$ の2つの粒子が，ある慣性系で逆向きにどちらも速さ $0.60 c$ で進み，正面衝突してくっついた．

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考え方 運動量の和とエネルギーの和が保存する．質量の和は保存しない．

運動量の和は衝突前に0なので，くっついた粒子は止まっている．エネルギーの和は $2 γ m c^{2} = 2 \times 1.25 m c^{2} = 2.5 m c^{2}$ で，止まっている粒子のエネルギーは $M c^{2}$ なので $M = 2.5 m$ ．
衝突前の運動エネルギーの和は $2 (γ - 1) m c^{2} = 0.50 m c^{2}$ ． $M c^{2} - 2 m c^{2} = 0.50 m c^{2}$ で等しい．

確かめ：ガリレイの力学では，運動エネルギーは熱などに変わって「消え」，質量は $2 m$ のままだった．相対論では，熱も含めたすべてのエネルギーが質量として数えられる．ふつうの衝突では増える質量がごくわずかなので，気づかないだけである．

例題 3

オリジナル ★★★☆☆

質量 $m$ の宇宙船が，静止の状態から，地上の系で一定の力 $F = m g$ （ $g = 9.8 m s^{- 2}$ ）を受け続ける．

時刻 $t$ の速さ $v$ を求めよ．
$v = 0.99 c$ になるまでの時間を求めよ（年で答えよ）．ガリレイの力学で計算した時間と比べよ． $c = 3.0 \times 10^{8} m s^{- 1}$ ，1年 $= 3.16 \times 10^{7} s$ とする．

解答を見る

考え方 運動方程式 $d p / d t = F$ から $p = F t$ ． $p = γ m v$ を $v$ について解く．

$γ β = \frac{g t}{c}$ （ $β = v / c$ ）． $γ β = β / \sqrt{1 - β^{2}}$ を $β$ について解くと

v = \frac{g t}{\sqrt{1 + (g t / c)^{2}}}

$t$ が小さければ $v \approx g t$ ， $t \to \infty$ で $v \to c$ ．

$β = 0.99$ では $γ β = 0.99 / \sqrt{1 - 0.9801} \approx 7.02$ ． $t = 7.02 \times \frac{3.0 \times 10^{8}}{9.8} \approx 2.15 \times 10^{8} s \approx 6.8$ 年．ガリレイの力学では $t = 0.99 c / g \approx 3.0 \times 10^{7} s \approx 0.96$ 年．

確かめ：速くなるほど，同じ力で同じだけ運動量が増えても，速さはわずかしか増えない． $v$ は決して $c$ に届かない．

ポイントここまでのまとめ

$L = - m c^{2} \sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}$ を微分して $p = γ m v$ ， $E = p \cdot v - L = γ m c^{2}$ ．
$E^{2} - (p c)^{2} = (m c^{2})^{2}$ ， $v = p c^{2} / E$ ．
運動エネルギー $(γ - 1) m c^{2}$ が静止エネルギーと同じ程度になると， $\frac{1}{2} m v^{2}$ は使えない．
衝突では運動量とエネルギーの和が保存し，質量の和は保存しない．
一定の力では $p = F t$ で運動量は増え続けるが，速さは $c$ に近づくだけ．