対称性から組み立てる力学（発展）

相対論の力学の演習

著者：柚木芹香

全エネルギー $E$ と運動エネルギー $K$ を区別し，衝突・放射では $E$ と運動量を保存させてください．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

質量 $m$ の自由な粒子の運動量の大きさが $p = 3 m c$ です． $E$ ， $K$ ，速さ $v$ を求め， $p = m v$ として速さを求めた場合と比べてください．

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考え方 運動量から正のエネルギーを求め， $v = p c^{2} / E$ を使う．

$E = \sqrt{10} m c^{2}$ ， $K = (\sqrt{10} - 1) m c^{2}$ ． $v = p c^{2} / E$ より $v = 3 c / \sqrt{10} \approx 0.949 c$ ． $p = m v$ とすると $v = 3 c$ となり，光速を超えてしまう．

確かめ：この速さの $γ$ は $\sqrt{10}$ で， $γ m v = 3 m c$ に戻る．運動量が $m c$ よりずっと小さければ $E \approx m c^{2} + p^{2} / (2 m)$ ， $v \approx p / m$ となるが，この粒子にはその近似を使えない．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

質量 $m$ の粒子が，1次元の外場 $U = k x^{2} / 2$ ， $k > 0$ の中を動きます． $x = a > 0$ で静止させて放し， $k a^{2} = 2 m c^{2}$ とします．

ラグランジアンと保存するエネルギーを書いてください．
$x = 0$ での速さと運動量の大きさを求めてください．反対側の折り返し位置も答えてください．

**［図：二次の外場から放す粒子］**
x軸と対称な放物線形のUのグラフに，初めの位置aを示す．折り返し位置と速さは描かない．

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考え方 時間の一様性から $E = γ m c^{2} + U$ が保存する．

$L = - m c^{2} \sqrt{1 - {\dot{x}}^{2} / c^{2}} - k x^{2} / 2$ ， $p = γ m \dot{x}$ ． $E = p \dot{x} - L = γ m c^{2} + k x^{2} / 2$ で，初めの値は $E = m c^{2} + k a^{2} / 2 = 2 m c^{2}$ ．
原点で $γ = 2$ なので $v = \sqrt{3} c / 2$ ， $| p | = \sqrt{3} m c$ ．左へ進むので，符号付きでは $p$ は負である．折り返すと $γ = 1$ に戻り， $k x^{2} / 2 = m c^{2}$ だから，反対側は $x = - a$ ．

確かめ：原点の $K = m c^{2}$ は初めの $U$ に等しい． $K = m v^{2} / 2$ とすれば $v = \sqrt{2} c$ となるので，この設定では低速近似が破れる．一方，折り返し位置は，両端で $K = 0$ なので低速の式でも同じになる．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

一定の質量 $m$ を持つ粒子に，慣性系Aで1次元の外力 $F (t) = F_{0} \cos ω t$ が働きます． $F_{0}, ω > 0$ ， $p (0) = 0$ とし， $0 \leq t \leq π / ω$ を考えます．ここでは力を $\dot{p} = F (t)$ で定義します．

運動量と速さの時間変化，最大の速さを求めてください．
この間の力の仕事を求めてください．粒子は元の位置へ戻りますか．

**［図：時間とともに向きが変わる外力］**
横軸ωt，縦軸F/F₀に，0からπまでの余弦曲線を描く．粒子の速度や変位は描かない．

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考え方 加速度ではなく運動量を積分する．速度は $v = p c^{2} / E$ ，仕事は $d E = v d p$ から求める．

$p = (F_{0} / ω) \sin ω t$ ． $A = F_{0} / (m ω c)$ とおくと

v (t) = \frac{c A \sin ω t}{\sqrt{1 + A^{2} \sin^{2} ω t}}

この区間では非負なので，速度と速さが一致する．最大は $t = π / (2 ω)$ で $v_{max} = c A / \sqrt{1 + A^{2}}$ ．有限の $A$ では光速より小さい．

$E = \sqrt{p^{2} c^{2} + m^{2} c^{4}}$ を微分すると $\dot{E} = (p c^{2} / E) \dot{p} = v F$ ．初めも終わりも $p = 0$ なので，仕事は $E (π / ω) - E (0) = 0$ ．ただし途中で $v > 0$ なので，変位は正であり元の位置へは戻らない．

確かめ：前半では力が正でエネルギーが増え，後半では力が負で同じだけ減る． $A$ が1よりずっと小さいなら， $v \approx (F_{0} / (m ω)) \sin ω t$ に戻る．

演習 4

オリジナル ★★★☆☆

質量 $m$ の粒子が右へ $0.80 c$ で進み，静止した質量 $2 m$ の粒子と衝突してくっつきます．外へ光や物質は出ません．衝突後の物体の速度 $V$ ，質量 $M$ ，初めの質量の和からの増加を求めてください．

**［図：静止した標的との合体衝突］**
右向きに進む粒子mと静止した粒子2mを描き，衝突後は1つの物体Mになることだけを示す．衝突後の速度や質量の値は描かない．

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考え方 全運動量は0ではないので，衝突後も物体は動く．衝突後のエネルギーをそのまま $M c^{2}$ としてはいけない．

初めの粒子の $γ = 5 / 3$ より，保存する全エネルギーは $E_{tot} = (5 / 3 + 2) m c^{2} = 11 m c^{2} / 3$ ，全運動量は $P = 4 m c / 3$ ．衝突後の1物体に $V = P c^{2} / E_{tot}$ を使って

V = \frac{4}{11} c, M = \frac{\sqrt{E_{tot}^{2} - P^{2} c^{2}}}{c^{2}} = \frac{\sqrt{105}}{3} m \approx 3.42 m

したがって質量の増加は約 $0.416 m$ ．

確かめ： $γ_{V} = 11 / \sqrt{105}$ より， $γ_{V} M = 11 m / 3$ ， $γ_{V} M V = 4 m c / 3$ となり，両保存則を満たす．初めの $K$ のうち， $(M - 3 m) c^{2}$ は内部エネルギー，残りは全体の運動エネルギーとなる．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

静止した質量 $M$ の励起状態の粒子が，右向きに光子を1個出し，質量 $m$ の粒子になります． $M > m > 0$ とし，外からの影響はありません．光子のエネルギーを $ϵ$ ，残った粒子の速度を $u$ とします．

$ϵ$ と $u$ を求めてください．
$M = 2 m$ の場合の値を答え， $(M - m) c^{2}$ のすべてが光子のエネルギーにならない理由を説明してください．

**［図：光子の放射と残る粒子］**
粒子Mが右へ光子を出す前後を並べ，放射後の粒子mと光子を描く．mの運動方向と速さは示さない．

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考え方 光子の運動量の大きさは $ϵ / c$ ．初めの全運動量が0なので，残った粒子も同じ大きさの運動量を逆向きに持つ．

残った粒子は $p = - ϵ / c$ ， $E_{m} = M c^{2} - ϵ$ ． $E_{m}^{2} - p^{2} c^{2} = m^{2} c^{4}$ を使うと

(M c^{2} - ϵ)^{2} - ϵ^{2} = m^{2} c^{4}, ϵ = \frac{M^{2} - m^{2}}{2 M} c^{2}

さらに $u = p c^{2} / E_{m}$ だから， $u = - c (M^{2} - m^{2}) / (M^{2} + m^{2})$ ．

$ϵ = 3 m c^{2} / 4$ ， $u = - 3 c / 5$ ．残った粒子の $E_{m} = 5 m c^{2} / 4$ より，その $K = m c^{2} / 4$ ．質量差のエネルギー $m c^{2}$ は，光子のエネルギーと反跳する粒子の $K$ に分かれる．

確かめ： $M \to m$ で $ϵ \to 0$ ， $u \to 0$ ． $M = 2 m$ では $γ_{u} = 5 / 4$ ， $p = (5 / 4) m (- 3 c / 5) = - 3 m c / 4$ となり，光子の運動量 $3 m c / 4$ と打ち消し合う．

ポイント教える人へ

$E$ と $K$ を区別し，力の積分が運動量になることを確認させてください．演習4では衝突後も全体が動くこと，演習5では反跳の運動量も保存することを問いかけます．