電流と磁場

電場と磁場の相対性の演習

著者：柚木芹香

力の和と時間の変換を調べましょう．真空では $μ_{0} ε_{0} = 1 / c^{2}$ ，計算では $c = 3.0 \times 10^{8} m s^{- 1}$ とします．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

間隔 $d$ の2本の長い導線に同じ向きの電流を流します．静止する正電荷の線密度は $Λ > 0$ ，負電荷の線密度は $- (1 - δ) Λ$ ，速さは $u$ です． $0 < δ < 1$ とします．

正味の線電荷密度 $λ$ と電流 $I$ を求めよ．
単位長さの反発力は $f_{E} = λ^{2} / (2 π ε_{0} d)$ ，引力は $f_{B} = μ_{0} I^{2} / (2 π d)$ です．比を求め， $δ = 1.0 \times 10^{- 8}$ ， $u / c = 1.0 \times 10^{- 4}$ でどちらが勝るか述べよ．

**［図：平行導線の電荷と負電荷の運動］**
間隔dの二本の導線は，それぞれ静止する正電荷の線密度Λと，速さuで動く負電荷の線密度−(1−δ)Λをもつ．負電荷の速度は同方向で，電流はその逆向きに流れる．

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考え方 電気力には正味の電荷，磁気力には動く電荷を用いる．

$λ = Λ - (1 - δ) Λ = δ Λ$ ， $I = (1 - δ) Λ u$ である．
比は

\frac{f_{E}}{f_{B}} = \frac{δ^{2}}{{(1 - δ)}^{2}} \frac{c^{2}}{u^{2}} \approx 1.0 \times 10^{- 8}

で，引力が勝る．遅い電荷の磁気力より，電気力の相殺が強く効く． $δ \to 0$ では電気的反発だけが消え，電流による引力は残る．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

実験室系Kで， $E$ は $y$ 方向に $E = 3.0 \times 10^{4} V m^{- 1}$ ， $B$ は $z$ 方向に $B = 2.0 \times 10^{- 2} T$ です．速度 $u$ の系K'では， $1 ≫ u / c$ のとき $E^{'} \approx E + u \times B$ を使えます．

$x$ 方向に動くK'で電場が消える $u$ を求めよ．
$u = 1.0 \times 10^{6} m s^{- 1}$ ， $2.0 \times 10^{6} m s^{- 1}$ で，K'に静止する正電荷の力の向きを求めよ．

**［図：実験室系の場と移動する座標系］**
実験室系Kの電場Eは正のy方向，磁場Bは正のz方向を向く．系K′は正のx方向に速度uで動く．三次元の軸を斜めに投影して描く．

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考え方 電荷はKで動き，K'で静止する．

外積は $- y$ 方向なので， $E_{y}^{'} \approx E - u B$ ．したがって $u = E / B = 1.5 \times 10^{6} m s^{- 1}$ で消える．
順に $E_{y}^{'} \approx \pm 1.0 \times 10^{4} V m^{- 1}$ の正，負をとり，力は $+ y$ ， $- y$ 方向である．最大でも $u / c = 6.7 \times 10^{- 3}$ で，捨てた補正の尺度 ${(u / c)}^{2}$ は十分小さい．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

長い円柱状の電子線が軸方向に速さ $v$ で進みます．電荷密度は断面で一様とし，外部の場，広がり，横速度は無視します．軸から距離 $r$ の表面における電場の大きさを $E$ ，外向きの電子の力を $F$ とし， $R = F / (e E)$ を測定しました．表は模型値です．

$v$ （ $10^{8} m s^{- 1}$ ）	$R$
0.60	0.960
1.20	0.840
1.80	0.640

線電荷密度の大きさを $| λ |$ とし，ガウスの法則とアンペールの法則から $E, B$ を求め， $R$ を $v, c$ で表せ．
$R = 1 - k v^{2}$ とし，両端の点から $k$ と $1 / \sqrt{k}$ を求めよ．中間点を検証し，電子線自身の磁気力が電気的反発を消せるか述べよ．

**［図：円柱状電子線の断面と側面］**
電子線は軸方向へ速さvで進む．断面の半径rと表面の電子を示す．電場や磁場，力の向きは描いていない．

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考え方 電気的反発から磁気的引力を引き， $R$ を $v^{2}$ に対して直線化する．

円筒面を通る流束から $E 2 π r ℓ = | λ | ℓ / ε_{0}$ ，閉じた円に沿う一周の積分から $B 2 π r = μ_{0} | I |$ ． $| I | = | λ | v$ より， $E = | λ | / (2 π ε_{0} r)$ ， $B = μ_{0} | λ | v / (2 π r)$ ．電気力は外向き，磁気力は内向きであり，

F = e (E - v B) = e E (1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}), R = 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}

となる．

表の上から添字1，2，3を付けて， $k = (R_{1} - R_{3}) / (v_{3}^{2} - v_{1}^{2}) = 0.320 / (2.88 \times 10^{16}) = 1.11 \times 10^{- 17} s^{2} m^{- 2}$ ．よって $1 / \sqrt{k} = 3.0 \times 10^{8} m s^{- 1}$ である．中間も $R_{2} = 1 - k v_{2}^{2} = 0.840$ と一致する． $c > v$ なら $R > 0$ なので反発は残る．半径の変化の割合と $| v_{r} | / v$ が小さい範囲の結果である．

演習 4

オリジナル ★★★☆☆

Kで， $y = 0, d$ の十分大きい平行な絶縁板に，下は面密度 $+ σ$ （ $σ > 0$ ），上は $- σ$ の電荷を固定します．板間の正電荷 $q$ はKで瞬間的に静止します．K'は $x$ 方向に速さ $u$ で動き， $γ = 1 / \sqrt{1 - u^{2} / c^{2}}$ とします．運動方向の長さが $1 / γ$ 倍になります．面電流密度 $K_{s}$ の平面の磁場は片側で $μ_{0} | K_{s} | / 2$ とし，向きは右手で決めます．

KとK'の板間の $E_{y}, B_{z}$ を求めよ．
K'では試験電荷の速度が $- u$ です．力 $F_{y}^{'}$ をKの力 $F_{y}$ と比べよ． $p_{y}^{'} = p_{y}$ ， $d t^{'} = γ d t$ を使っても確かめよ．

**［図：平行な帯電板と移動する系］**
実験室系Kで下の板は正の面電荷密度σ，上の板は負の面電荷密度−σをもつ．正電荷qは板間で瞬間的に静止する．系K′は正のx方向に速さuで動く．

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考え方 面積の収縮と板の移動から電場・磁場を求める．

Kでは $E_{y} = σ / ε_{0}$ ， $B_{z} = 0$ ．K'では面積が $1 / γ$ 倍だから密度は $\pm γ σ$ ， $E_{y}^{'} = γ E_{y}$ ．下の電流は $- x$ ，上は $+ x$ 方向で，磁場はともに $- z$ 方向に加わる．したがって

B_{z}^{'} = - μ_{0} γ σ u = - \frac{γ u E_{y}}{c^{2}}

である．

$v^{'} \times B^{'}$ は $- y$ 方向なので， $F_{y}^{'} = q γ E_{y} (1 - u^{2} / c^{2}) = q E_{y} / γ = F_{y} / γ$ ．また $F_{y}^{'} = \frac{d p_{y}^{'}}{d t^{'}} = \frac{d p_{y}}{d t} / γ$ でも同じ比を得る． $u \to 0$ で両系の力は一致し，板の端から十分離れた範囲の結果である．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

正電荷 $Q$ をもつ粒子を，Kで $x$ 方向に一定速度 $v$ で走らせます．真横の距離 $d$ に，試験電荷 $q > 0$ を同じ速度で置きます．試験電荷の場は無視します．粒子と同じ速度の系K $_{0}$ では両電荷が静止し，反発力は $F_{0} = q Q / (4 π ε_{0} d^{2})$ です．横距離・運動量は不変で，試験電荷に沿って $d t = γ d t_{0}$ ， $γ = 1 / \sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}$ となります．移動する電荷の真横では $B = v E / c^{2}$ の関係があり，磁気力は並走する正電荷を引き付けます．

Kの力 $F_{+}$ と電場 $E$ を $F_{0}$ で表せ．
試験電荷の速度だけを $- v$ にした力 $F_{-}$ と比 $F_{-} / F_{+}$ を求めよ． $v = 0.60 c$ で比を評価せよ．

**［図：横に離れた二電荷の並走と逆走］**
正電荷Qと試験電荷qは運動方向に垂直な距離dを隔てて並ぶ．左は両電荷が正のx方向に速度vで進む配置，右は試験電荷だけが負のx方向に速度−vで進む配置である．

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考え方 並走では静止系の力を変換する．逆走では磁気力の向きが変わる．

$F_{+} = \frac{d p_{y}}{d t} = \frac{d p_{0 y}}{d t_{0}} / γ = F_{0} / γ$ ．一方， $F_{+} = q (E - v B) = q E (1 - v^{2} / c^{2}) = q E / γ^{2}$ ．両式から $E = γ F_{0} / q$ を得る．
逆走では磁気力も反発となり， $F_{-} = q E (1 + v^{2} / c^{2}) = γ F_{0} (1 + v^{2} / c^{2})$ ．したがって

\frac{F_{-}}{F_{+}} = γ^{2} (1 + \frac{v^{2}}{c^{2}}) = \frac{1 + v^{2} / c^{2}}{1 - v^{2} / c^{2}}

である． $v = 0.60 c$ では $γ = 1.25$ ，比は $1.36 / 0.64 \approx 2.1$ ． $v \to 0$ では比が1となる．粒子を等速に保ち，横速度が0の瞬間の結果である．

ポイント教える人へ

電荷と電流の相殺を別々に数えさせます．
系と電荷の速度を区別し，外積の符号を確かめさせます．
どの電荷に沿った時間を比べているか説明させます．
測定から電気力だけでは足りないことを確認します．