転がりの演習

考え方 斜面下向きの並進と，斜面を下る回転を正にとる．摩擦力は回転を増すために斜面上向きに働くと仮定し，符号を確かめる．

1. $Ma=Mg\sin \theta -f$，$(M{R}^2/2)\alpha =fR$，$a=R\alpha$ なので $f=Ma/2$．したがって $a=2g\sin \theta /3$，$f=Mg\sin \theta /3$．正の値なので仮定した向きでよい．重力と垂直抗力は重心のまわりのトルクを持たない．

2. $N=Mg\cos \theta$ と $f\le \mu N$ より ${\mu }_{min}=\tan \theta /3$．エネルギー保存は $Mgh=\frac{1}{2}M{v}^2+\frac{1}{2}(M{R}^2/2)(v/R{)}^2=3M{v}^2/4$ なので $v=\sqrt{4gh/3}$．摩擦係数が最小値未満なら滑りが生じ，この解答の束縛条件は使えない．また摩擦が働いていても，静止した斜面上の接点の速度は0なので，摩擦力による全仕事は0である．

考え方 同じ重心速度でも回転エネルギーは形によって違う．滑らない限り並進と回転は同時に止まるため，初めの全運動エネルギーを位置エネルギーに変えられる．

1. $I_{\mathrm{G}}=kM{R}^2$ とすれば初めのエネルギーは $M(1+k)v_0^2/2$．よって $h=(1+k)v_0^2/(2g)$．球は $k=2/5$ なので $h_{\text{球}}=7v_0^2/(10g)$，輪は $k=1$ なので $h_{\text{輪}}=v_0^2/g$．輪のほうが高く上がる．下りの競走で球が速いこととは初期条件が違う．

2. 摩擦力は斜面上向きである．上昇する回転を減らすトルクを与え，並進の減速と回転の減速を対応させる．摩擦を除けば重力は重心を減速させるが回転を減らせず，接点は斜面下向きに滑ろうとする．最高点でも $v=R\omega$ が成立するので，$v=0$ なら $\omega =0$．その瞬間にも斜面下向きの加速度は残り，続いて転がり下りる．

考え方 中心に加えた力は重心まわりのトルクを持たない．転がる回転を作るのは床の摩擦力である．

1. 摩擦を左向きに $f$ とおくと $Ma=F-f$，$(M{R}^2/2)\alpha =fR$，$a=R\alpha$．よって $a=2F/(3M)$，$f=F/3$ で，摩擦は左向きである．もし摩擦がなければ中心だけが加速し，円柱は回転を始めずに右へ滑る．摩擦力はその接点の相対運動を抑える向きに働いている．

2. $N=Mg$ より $F/3\le \mu Mg$，すなわち $F\le 3\mu Mg$．静止から距離 $s$ 進むと $v^2=2as=4Fs/(3M)$．全運動エネルギーは $3M{v}^2/4=Fs$ となり，外力 $F$ の仕事に等しい．並進には $(F-f)s=2Fs/3$，回転には $fR\theta =Fs/3$ が配分される．摩擦による並進と回転への寄与は互いに相殺し，摩擦力の全仕事は0となる．

考え方 滑っている間は $v=R\omega$ を使えない．並進と回転を別々に解き，接点の相対速度が0になる時刻を求める．時計回りの角速度を正にする．

1. 摩擦は左向きに ${\mu }^{\prime }Mg$ なので $v=v_0-{\mu }^{\prime }gt$，$\omega =2{\mu }^{\prime }gt/R$．接点の速度は $v-R\omega =v_0-3{\mu }^{\prime }gt$ で，$t_s=v_0/(3{\mu }^{\prime }g)$ に0になる．そのとき $v_s=2v_0/3$，${\omega }_s=2v_0/(3R)$．接点の速度はこの時刻まで正であり，摩擦の向きを途中で変える必要はない．

2. 初めは $K_0=M{v}_0^2/2$，最後は $K_s=3M{v}_s^2/4=M{v}_0^2/3$．したがって損失は $M{v}_0^2/6$．摩擦係数は滑る時間を変えるが，この損失には現れない．滑りが止まった後は水平外力がなく，$Ma=-f$，$I\alpha =fR$，$a=R\alpha$ を同時に満たすのは $a=f=0$ である．したがって一定速度で転がり続け，摩擦力は0となる．