回転と剛体

転がりの束縛条件と例題

著者：柚木芹香

滑らずに転がる条件を微分で扱い，並進と回転のエネルギーが分かれる理由を確かめます．そのあと例題に進みます．

数学の道具

定理数学の道具：束縛条件の微分とエネルギーの分離

束縛条件の微分． 半径 $R$ の円板が右へ滑らずに転がるとする．回転角 $θ$ を時計回りに測ると，中心の位置は $x = R θ$ である．時間で微分すると

v = \dot{x} = R ω, a = \ddot{x} = R α

となる．これは「接点の速度が0」という条件を，中心の位置と回転角の関係として書いたものである．円周上の各点の速度と，最初に接点だった点が描くサイクロイドは，前の題材「剛体の平面運動」の例題で求めた（接点で0，頂点で $2 v$ ）．

エネルギーの分離． 質点 $m_{i}$ の速度を，重心の速度 $v_{G}$ と重心に対する速度 $u_{i}$ の和 $v_{i} = v_{G} + u_{i}$ で表すと

K = \sum \frac{1}{2} m_{i} {| v_{G} + u_{i} |}^{2} = \frac{1}{2} M v_{G}^{2} + v_{G} \cdot \sum m_{i} u_{i} + \sum \frac{1}{2} m_{i} u_{i}^{2}

である．重心に対する位置の質量加重平均は0だから，その時間微分 $\sum m_{i} u_{i}$ も0で，真ん中の項は消える．剛体では $u_{i} = r_{i} ω$ （ $r_{i}$ は重心を通る回転軸からの距離）なので，最後の項は $\frac{1}{2} I_{G} ω^{2}$ である．

練習 1． 質量 $3.0 kg$ ，半径 $0.20 m$ の一様な円板が，滑らずに速さ $2.0 m s^{- 1}$ で転がっている．角速度と運動エネルギーを求めよ．

答え： $ω = v / R = 10 rad s^{- 1}$ ， $K = \frac{1}{2} \times 3.0 \times {2.0}^{2} + \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} \times 3.0 \times {0.20}^{2}) \times 10^{2} = 9.0 J$ ．

練習 2． (1) 質量 $2.0 kg$ の薄い輪（ $I = M R^{2}$ ）が速さ $1.0 m s^{- 1}$ で滑らずに転がっている．運動エネルギーを，重心の分と回転の分に分けて求めよ．(2) 一様な円板（ $I = \frac{1}{2} M R^{2}$ ）が，高さ $0.30 m$ の斜面を静止から滑らずに転がり下りた．下での速さを求めよ．

答え：(1) 重心の分 $\frac{1}{2} \times 2.0 \times {1.0}^{2} = 1.0 J$ ，回転の分 $\frac{1}{2} M R^{2} (v / R)^{2} = 1.0 J$ ，合計 $2.0 J$ ．(2) $M g h = \frac{1}{2} M v^{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} M R^{2} (v / R)^{2} = \frac{3}{4} M v^{2}$ より $v = \sqrt{4 g h / 3} \approx 2.0 m s^{- 1}$ ．

例題

例題 1

オリジナル ★★☆☆☆

質量 $2.0 kg$ ，半径 $0.10 m$ の一様な球が，傾き $30^{\circ}$ の斜面を滑らずに転がり降りる． $g = 9.8 m s^{- 2}$ とする．

重心の加速度の大きさと，球の角加速度を求めよ．
摩擦力の大きさと，必要な静止摩擦係数の最小値を求めよ．

**［図：球の転がりと三つの力］**
傾き 30^\circ の斜面を転がる球．重力 Mg，垂直抗力 N，斜面に沿って上向きの静止摩擦力 f を描く．

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考え方 重心の運動方程式と重心まわりの回転の運動方程式を立て， $a = R α$ で結ぶ．球では $I_{G} = \frac{2}{5} M R^{2}$ である．

斜面に沿って下向きを正とする． $M a = M g \sin θ - f$ ， $\frac{2}{5} M R^{2} α = f R$ ， $α = a / R$ より $f = \frac{2}{5} M a$ ．よって

a = \frac{5}{7} g \sin 30^{\circ} = 3.5 m s^{- 2}, α = \frac{a}{R} = 35 rad s^{- 2}

$f = \frac{2}{5} \times 2.0 \times 3.5 = 2.8 N$ ．垂直抗力は $N = M g \cos θ \approx 17 N$ だから， $μ \geq \frac{f}{N} \approx 0.17$ （ $\frac{2}{7} \tan 30^{\circ}$ と同じ）である．

例題 2

オリジナル ★★★☆☆

質量 $M = 0.20 kg$ ，外半径 $R = 0.040 m$ ，軸の半径 $r = 0.010 m$ のヨーヨーがある．軸に巻いた糸の端を固定して手を離すと，糸がほどけながら真下に落ちる．ヨーヨーは一様な円板（ $I = \frac{1}{2} M R^{2}$ ）と見なし，糸の厚さは無視する． $g = 9.8 m s^{- 2}$ とする．

加速度の大きさと糸の張力を求めよ．

**［図：糸がほどけて落ちるヨーヨー］**
糸を軸に巻いたヨーヨーと，上で固定された糸．重力 Mg が重心に，張力 T が糸のほどける点に働く．軸の半径 r と外半径 R を示す．

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考え方 糸のほどける点は，その瞬間は動かない．重心の速さは $v = r ω$ ，加速度は $a = r α$ である．

下向きを正とする． $M a = M g - T$ ， $I α = T r$ ， $a = r α$ より $T = \frac{I}{r^{2}} a$ ．

a = \frac{g}{1 + I / (M r^{2})}, \frac{I}{M r^{2}} = \frac{R^{2}}{2 r^{2}} = 8.0

だから $a = \frac{9.8}{9.0} \approx 1.1 m s^{- 2}$ ． $T = M (g - a) \approx 1.7 N$ である．落ちて失った位置エネルギーの $\frac{8}{9}$ は回転に使われる．

例題 3

オリジナル ★★★★☆

水平な台の上に，質量 $M$ ，半径 $R$ の一様な球が静止している．台との動摩擦係数は $μ^{'} = 0.20$ である．ビリヤードのキューで球の中心の高さを水平に突き，初速 $v_{0} = 3.5 m s^{- 1}$ を与える（回転は与えない）．球は最初は滑り，やがて滑らずに転がり始める． $g = 9.8 m s^{- 2}$ とする．

転がり始めるまでの時間と，そのときの速さを求めよ．
中心より $b$ だけ高い位置を突くと，突いた直後から滑らずに転がった． $b$ を求めよ．

**［図：キューが球を突く高さ］**
台の上の球を水平に突くキューの図．(1) は中心の高さを，(2) は中心より b だけ上を突く．球に働く動摩擦力 f の向きも示す．

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考え方 滑っている間は，一定の動摩擦力 $μ^{'} M g$ が働く．並進と回転の運動方程式から $v (t)$ と $ω (t)$ を求め， $v = R ω$ となる時刻を探す．

進む向きを正とする．摩擦力は逆向きで， $M \dot{v} = - μ^{'} M g$ ， $\frac{2}{5} M R^{2} \dot{ω} = μ^{'} M g R$ ．よって

v = v_{0} - μ^{'} g t, ω = \frac{5 μ^{'} g}{2 R} t

$v = R ω$ とおくと $v_{0} - μ^{'} g t = \frac{5}{2} μ^{'} g t$ で

t = \frac{2 v_{0}}{7 μ^{'} g} \approx 0.51 s, v = \frac{5}{7} v_{0} = 2.5 m s^{- 1}

である．

突いたときの力積を $J$ とすると， $M v_{0} = J$ ， $I ω_{0} = J b$ ． $v_{0} = R ω_{0}$ より $\frac{2}{5} M R^{2} \cdot \frac{v_{0}}{R} = M v_{0} b$ ，すなわち $b = \frac{2}{5} R$ である．

ポイントここまでのまとめ

滑らずに転がる条件 $x = R θ$ を微分して $v = R ω$ ， $a = R α$ ．
運動エネルギーは，重心の $\frac{1}{2} M v^{2}$ と重心まわりの回転 $\frac{1}{2} I_{G} ω^{2}$ の和に分かれる．
斜面を転がる球は $a = \frac{5}{7} g \sin θ$ ．ヨーヨーは $a = g / (1 + I / (M r^{2}))$ ．
初めに回転していない一様な球が，水平な粗い床の上で滑りから転がりに変わるとき， $v = \frac{5}{7} v_{0}$ になる（円板なら $\frac{2}{3} v_{0}$ ，輪なら $\frac{1}{2} v_{0}$ で，物体の形と初めの回転で変わる）．