振動

フックの法則と単振動

著者：柚木芹香

問い

ばねの先におもりをつけて，ばねを少し引いてから静かに放すと，おもりは行ったり来たりを繰り返します．引く長さを $5 cm$ から $10 cm$ に変えて，もう一度同じことをします．往復する距離は2倍になりますが，一往復にかかる時間はどうなるでしょうか．2倍になるのか，変わらないのか，別の変わり方をするのでしょうか．

考えてみる

引く長さが2倍なら，戻るべき距離も2倍です．一方，ばねの力は伸びが大きいほど強いので，放した直後に受ける力も，加速度も大きくなります．遠くまで行く分だけ強く引き戻されるので，かかる時間は打ち消し合って変わらないかもしれません．ただし力は戻るにつれて弱まるので，この見通しは厳密ではありません．運動方程式を立てて確かめましょう．

フックの法則と運動方程式

法則フックの法則

ばねを自然長から変位 $x$ だけ伸ばす（縮める）と，ばねが物体に及ぼす力は

F = - k x

である． $k$ をばね定数といい，単位は $N m^{- 1}$ ．負号は，力が変位と逆向き（自然長の位置へ戻す向き）に働くことを表す．

つり合いの位置からずれた物体を，元のつり合いの位置へ戻す向きに働く力を復元力といいます．復元力が変位に比例するとき，単振動になります．ばねだけの力は自然長へ戻す向きで，おもりに働く合力の復元力はつり合いの位置へ戻す向きです．水平なばねでは両者の位置が一致し，鉛直なばねでは異なります（例題で扱います）．伸ばしすぎたばねではフックの法則が成り立たなくなるので，この法則は変位が小さい範囲で使います．

まず，なめらかな水平面の上で，一端を壁に固定したばねに質量 $m$ のおもりをつけます．自然長のときのおもりの位置を原点とし，ばねの伸びる向きに $x$ 軸をとります．

**［図：変位と復元力の向き］**
自然長では力は0．伸ばすと左向き，縮めると右向きの復元力が働く．力は赤い矢印で表す．

運動方程式は，加速度を $\ddot{x} = \frac{d^{2} x}{d t^{2}}$ と書いて

m \ddot{x} = - k x すなわち \ddot{x} = - \frac{k}{m} x

です． $x$ の2階微分が， $x$ に負の定数を掛けたものに等しい，という式です．

解を代入して確かめる

2回微分すると符号が変わって元の形に戻る関数といえば，三角関数です．そこで $ω = \sqrt{k / m}$ とおき，次の関数が解になるかを代入して確かめます．ただし $A$ ， $ϕ$ は定数です．

x = A \cos (ω t + ϕ)

微分すると

\dot{x} = - A ω \sin (ω t + ϕ), \ddot{x} = - A ω^{2} \cos (ω t + ϕ) = - ω^{2} x

となり， $ω^{2} = k / m$ なので運動方程式が成り立ちます． $A$ と $ϕ$ がどんな値でも成り立つ点に注目してください．この式は，2つの定数を自由に選べる解です．

運動方程式は2階の微分方程式です．位置から加速度までに微分を2回しているので，もとの $x$ に戻すには積分を2回し，積分定数が2つ残ります．実際，同じ力でも初めの位置と初めの速度が違えば，おもりの動きは違います．2つの定数は，この2つの初期条件で決まります．この形の解がすべての解を尽くすことは，次の節で確かめます．

単振動の言葉

法則単振動

復元力 $F = - k x$ を受けるおもりの運動は

x = A \cos (ω t + ϕ), ω = \sqrt{\frac{k}{m}}

となる．この運動を単振動という． $A$ を振幅， $ω$ を角振動数（単位 $rad s^{- 1}$ ）， $ω t + ϕ$ を位相， $ϕ$ を初期位相という．

$\cos$ は位相が $2 π$ 増えるごとに元へ戻ります．一往復の時間である周期 $T$ は $ω T = 2 π$ から決まり，1秒あたりの往復の回数である振動数 $f$ はその逆数です．

T = \frac{2 π}{ω} = 2 π \sqrt{\frac{m}{k}}, f = \frac{1}{T} (Hz)

**［図：振幅が違っても同じ周期］**
青実線は振幅A，緑破線は振幅2Aの余弦曲線．横軸は周期Tで規格化した時間で，両者の山と谷の時刻は一致する．

周期の式に，振幅 $A$ は入っていません．これが問いの答えです．引く長さを2倍にしても，一往復の時間は変わりません．これを等時性といいます．復元力が変位に比例するからこそ，遠くへ行く分だけ強く引き戻され，打ち消し合うのです．一方，周期は質量とばね定数で決まります． $m$ を4倍にすると $T$ は2倍， $k$ を4倍にすると $T$ は半分になります．たとえば $k = 20 N m^{- 1}$ ， $m = 0.50 kg$ なら $ω = \sqrt{40} \approx 6.3 rad s^{- 1}$ ， $T \approx 0.99 s$ です．

初期条件から A と φ を決める

$t = 0$ での位置を $x_{0}$ ，速度を $v_{0}$ とします． $x$ と $\dot{x}$ の式に $t = 0$ を入れると

x_{0} = A \cos ϕ, v_{0} = - A ω \sin ϕ

です．これを解いて $A = \sqrt{x_{0}^{2} + (v_{0} / ω)^{2}}$ を得ます． $ϕ$ は $\cos ϕ = x_{0} / A$ ， $\sin ϕ = - v_{0} / (ω A)$ の両方の符号から決めます（ $x_{0} \neq 0$ なら $\tan ϕ = - v_{0} / (ω x_{0})$ とも書けますが， $x_{0} = 0$ のときは $\cos ϕ = 0$ から決めます． $x_{0} = v_{0} = 0$ は $A = 0$ の静止した状態で，位相は決まりません）．いちばん単純なのは，引いて静かに放す場合です． $x_{0} = A$ ， $v_{0} = 0$ なので $ϕ = 0$ で， $x = A \cos ω t$ になります．

速度・加速度とエネルギー

$x$ を微分した $v = - A ω \sin (ω t + ϕ)$ と， $a = - ω^{2} x$ から次のことが読み取れます．

速さの最大値は $A ω$ ，加速度の大きさの最大値は $A ω^{2}$ ．
振動の両端（ $x = \pm A$ ）では $v = 0$ で，加速度の大きさが最大．中心（ $x = 0$ ）では $a = 0$ で，速さが最大．
$v$ は $x$ より位相が $π / 2$ だけ進んでいる．

力学的エネルギーは， $m ω^{2} = k$ を使うと

\frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} k x^{2} = \frac{1}{2} m A^{2} ω^{2} \sin^{2} (ω t + ϕ) + \frac{1}{2} k A^{2} \cos^{2} (ω t + ϕ) = \frac{1}{2} k A^{2}

で一定です．両端ではすべてが弾性エネルギー，中心ではすべてが運動エネルギーで，その間で入れ替わります．振幅を2倍にするとエネルギーは4倍になります．

**［図：ポテンシャルと運動エネルギー］**
弾性エネルギーの放物線と全エネルギーEの水平線．二つの交点が転回点で，任意の位置での差が運動エネルギーとなる．

ポイントここまでのまとめ

フックの法則 $F = - k x$ の復元力を受けるおもりの運動方程式は $m \ddot{x} = - k x$ ．解は $x = A \cos (ω t + ϕ)$ ， $ω = \sqrt{k / m}$ ．代入すれば確かめられ，2階の方程式なので定数が2つ（ $A$ ， $ϕ$ ）ある．
$A$ と $ϕ$ は初期条件（初めの位置と速度）で決まる．周期は $T = 2 π \sqrt{m / k}$ ．
速度は $v = - A ω \sin (ω t + ϕ)$ ，加速度は $a = - ω^{2} x$ ．力学的エネルギーは $\frac{1}{2} k A^{2}$ で一定．
問いの答え：周期に振幅は入らない（等時性）．引く長さを2倍にしても往復の時間は変わらない．