仕事とエネルギー

第6章のまとめ

著者：柚木芹香

この章では，運動方程式を距離で積分して仕事と運動エネルギーを導き，保存力にはポテンシャルエネルギーが定義できることから力学的エネルギー保存則に進みました．さらに，保存則を使って問題を解く手順と，ポテンシャル図の読み方，熱をはじめとするエネルギーの諸形態を学びました．ここで定義・法則・手順を一覧にし，各節の最初の問いに短く答えます．

定義と法則

定義仕事・仕事率・運動エネルギー

仕事：力 $F$ が物体を $d r$ だけ動かすときの仕事は $W = \int F \cdot d r$ ．一定の力では $W = F \cdot s = F s \cos θ$ である．運動の向きに垂直な力は仕事をしない．
仕事率： $P = \frac{d W}{d t} = F \cdot v$ ．単位は $1 W = 1 J s^{- 1}$ である．
運動エネルギー： $K = \frac{1}{2} m v^{2}$ ．

法則仕事と運動エネルギーの定理

物体の運動エネルギーの変化は，合力が物体にした仕事に等しい．

Δ K = W

運動方程式 $m \frac{d v}{d t} = F$ に $v$ を掛けて時間で積分すると導ける．仕事の合計が正なら物体は加速し，負なら減速する．

定義保存力とポテンシャルエネルギー

物体を動かすときに力がする仕事が，経路によらず始点と終点だけで決まる力を保存力という．基準点を決めて

U (r) = - \int_{基準点}^{r} F \cdot d r

と定義したものがポテンシャルエネルギーである．1次元では $F = - \frac{d U}{d x}$ ，3次元では偏微分を使って $F_{x} = - \frac{\partial U}{\partial x}$ などと書く．動摩擦力は，滑る経路が長いほど負の仕事が大きくなり，始点と終点だけでは決まらないので保存力ではない．

法則力学的エネルギー保存則

保存力だけが仕事をするとき $E = K + U =$ 一定．非保存力が仕事をするときは，力学的エネルギーの変化が非保存力の仕事に等しく $Δ E = W^{'}$ （ $W^{'}$ は保存力以外の力がする仕事）である．熱を含めたすべての形のエネルギーを考えれば，全体の量は常に変わらない（エネルギーの保存）．

法則相対運動のエネルギー

全質量 $M = m_{1} + m_{2}$ ，換算質量 $μ = m_{1} m_{2} / M$ ，重心速度 $V = (m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2}) / M$ ，相対速度 $v_{rel} = v_{1} - v_{2}$ とすると

K = \frac{1}{2} M V^{2} + \frac{1}{2} μ v_{rel}^{2}

である．外力がなく，相互作用が保存力なら $\frac{1}{2} μ v_{rel}^{2} + U (r)$ が一定となる．正面衝突の損失は $Δ K = \frac{1}{2} μ (1 - e^{2}) v_{rel}^{2}$ ．一般に相対速さが $k$ 倍なら $e$ を $k$ に置き換える．分裂で解放されるエネルギー $Q$ は，重心系では $K_{1}^{'} : K_{2}^{'} = m_{2} : m_{1}$ に配分される．

公式衝突の作図の結果

正面衝突： $v_{i 後} = (1 + e) V - e v_{i}$ ．弾性ならGに関する点対称である．
静止した的への弾性衝突：的の反跳角は $φ = (π - χ) / 2$ ，エネルギー移行率は $f = 4 m_{1} m_{2} \cos^{2} φ / M^{2}$ ．正面衝突で最大となる． $χ = 0$ では的が静止して角度は定まらない．
等質量なら，両球の速度が0でないとき直角に分かれる． $m_{1} > m_{2}$ なら接線から $\sin θ_{max} = m_{2} / m_{1}$ ．角度の換算は $\tan θ = \sin χ / (\cos χ + m_{1} / m_{2})$ で，象限は速度成分から決める．
分裂の円：中心はG，半径は重心系の速さ $v_{i}^{'}$ ． $0 < v_{i}^{'} < V$ なら $\sin θ_{i, max} = v_{i}^{'} / V$ ． $v_{i}^{'} > V$ なら全方向， $v_{i}^{'} = V$ なら前方に飛び，直角は速さ0へ近づく極限である．

主な公式

量	式
重力のポテンシャルエネルギー	$U = m g y$ （ $y$ は基準面からの高さ）
ばねのポテンシャルエネルギー	$U = \frac{1}{2} k x^{2}$ （ $x$ は自然長からの伸び）
万有引力のポテンシャルエネルギー	$U = - \frac{G M m}{r}$ （無限遠が基準，第10章で導く）
熱	$Q = m c Δ T$ （相変化がなく比熱 $c$ が一定のとき，第16章でくわしく）
効率	$η = \frac{有用なエネルギー}{投入したエネルギー}$

手順

ポイントエネルギーで運動を調べる手順

状態を2つ決める（始めと終わり）．図に描き，基準の高さを決める．
働く力を，保存力・非保存力・仕事をしない力（運動に垂直な力．固定された面の垂直抗力や固定点からの糸の張力など）に分ける．
非保存力が仕事をしないなら $K + U$ が一定．するなら $Δ E = W^{'}$ とおく．
ループの頂点で $N \geq 0$ など，条件があれば加える．力そのものや時間を知りたいときは運動方程式（または速度と時間を結ぶ追加の計算），衝突では運動量保存を使う．
単位・符号・極端な場合で検算する．

ポイントポテンシャル図の読み方

$U (x)$ に全エネルギー $E$ の線を引く．運動エネルギーは $E - U$ ，動ける領域は $U \leq E$ ，転回点は $U = E$ （つり合い点と重なる場合は別扱い）．力は $F = - \frac{d U}{d x}$ で， $\frac{d U}{d x} = 0$ がつり合い， $\frac{d^{2} U}{d x^{2}} > 0$ なら安定， $< 0$ なら不安定． $U^{″} (x_{0}) > 0$ の安定点の近くの小さな振動は， $k = U^{″} (x_{0})$ のばねと同じ振動（第7章）になる．

ポイントニュートンダイアグラムの描き方

Oから衝突前の速度を描き，先端を $A_{1}$ ， $A_{2}$ とする．
$A_{1} G : G A_{2} = m_{2} : m_{1}$ となるGを打つ． $\vec{OG} = V$ で，運動量保存によりGは動かない．
Gを中心に各先端を通る円を描く．相対速さが $k$ 倍なら半径も $k$ 倍にする（弾性では $k = 1$ ，正面衝突では $k = e$ ）．
${GA}_{1}$ から角 $χ$ の方向に $B_{1}$ ，Gをはさんだ反対側に $B_{2}$ を置く．Oから両点への矢印が衝突後の速度である．

各節の問いへの答え

仕事と運動エネルギー：荷物を持って水平な道を歩くとき，荷物を支える力は運動の向きに垂直なので， $F \cdot d r = 0$ で荷物への仕事は0である．階段では変位に力の向きの成分（高さの増加）があるので仕事をする．疲れるのは，荷物への仕事とは別に，筋肉が力を出し続けるだけで体の中のエネルギーを使うからである．
保存力とポテンシャルエネルギー：重力に逆らってする仕事は，どちらの道でも $m g h$ で等しい．重力が保存力で，仕事が高さの差だけで決まるからである．下りでは重力が逆の $+ m g h$ の仕事をする．動摩擦の仕事は道のりで変わる．
エネルギー保存の使い方：半径 $R$ のループを回り切るには，頂点で $N \geq 0$ ，つまり $v^{2} \geq g R$ が必要である．エネルギー保存と合わせると，最低でもループの最下点から $\frac{5}{2} R$ の高さから出発しなければならない．
ポテンシャル図：原子間の $U (r)$ は，近距離の斥力と遠距離の引力のために中間に谷をもつ．その底 $r_{0}$ が安定なつり合いの距離で， $E < 0$ の原子は谷に閉じ込められて結合した状態になる（遠くから近づく原子がそうなるには，余ったエネルギーを外へ渡す過程が要る）．
重心運動と相対運動のエネルギー：等質量の車が速さ $v$ ずつで向かい合う場合も，静止した車に速さ $2 v$ で当たる場合も，相対速さは $2 v$ ．一体になると失うエネルギーは $\frac{1}{2} (m / 2) (2 v)^{2} = m v^{2}$ で等しい．
ニュートンダイアグラム：等質量で的が静止した弾性衝突では，2つの円が一致してOを通る．衝突後の先端を結ぶ線は直径なので，タレスの定理により，両球が動く場合の速度のなす角は直角である．
衝突をニュートンダイアグラムで語り直す： $m_{1} = 2 m_{2}$ ではOが入射球の円の外にある．接線が最大の曲がりを与え， $\sin θ_{max} = m_{2} / m_{1} = 1 / 2$ より限界は $30^{\circ}$ となる．
エネルギーの諸形態：ブレーキで止まった車の運動エネルギーは，ブレーキの分子の乱雑な運動のエネルギー（内部エネルギー）の増加に変わり，その一部は温度差によって周りへ熱として移った．エネルギーは消えず，形を変えただけで，周りと同じ温度まで広がったものは仕事に戻せない．

この章で使った数学

内積，変数の置き換えによる積分と線積分の入口，偏微分と勾配の入口，グラフの読み取りと2次の近似（テイラー展開の入口）がありました．