振動

2階の微分方程式と三角関数の合成

著者：柚木芹香

前の節で代入して確かめた $x = A \cos (ω t + ϕ)$ が解のすべてだといえる理由と，初期条件から定数を決める道具を整えます．

定理数学の道具：2階線形微分方程式 $\ddot{x} = - ω^{2} x$

重ね合わせ． $x_{1}$ ， $x_{2}$ が解で， $c_{1}$ ， $c_{2}$ が定数なら， $x = c_{1} x_{1} + c_{2} x_{2}$ も解である．微分は和と定数倍を保つので $\ddot{x} = c_{1} {\ddot{x}}_{1} + c_{2} {\ddot{x}}_{2} = - ω^{2} x$ となる（線形という）．

一般解． $\cos ω t$ と $\sin ω t$ はどちらも解で，一方は他方の定数倍ではない．2階の方程式では，独立な解が2つあればすべての解が表せる．よって一般解は

x = C_{1} \cos ω t + C_{2} \sin ω t

で，定数は2つである．

初期条件． $x (0) = C_{1} = x_{0}$ ， $\dot{x} (0) = ω C_{2} = v_{0}$ より $C_{1} = x_{0}$ ， $C_{2} = v_{0} / ω$ とただ1通りに決まる．

三角関数の合成． 加法定理 $\cos (α + β) = \cos α \cos β - \sin α \sin β$ より $A \cos (ω t + ϕ) = A \cos ϕ \cos ω t - A \sin ϕ \sin ω t$ ．一般解と比べて

A = \sqrt{C_{1}^{2} + C_{2}^{2}}, \cos ϕ = \frac{C_{1}}{A}, \sin ϕ = - \frac{C_{2}}{A}

である． $ϕ$ は $\cos ϕ$ ， $\sin ϕ$ の両方の符号で決める． $A = 0$ （ $C_{1} = C_{2} = 0$ ）は静止した解で，位相は決まらない．

**［図：合成振幅と初期位相］**
係数平面の点(C₁，−C₂)へ向かうベクトル．原点からの長さが合成振幅A，正の横軸からの角が初期位相φである．

練習 1． (1) $3 \cos 2 t + 4 \sin 2 t$ を $A \cos (2 t + ϕ)$ の形に直せ．(2) $\ddot{x} = - 9 x$ ， $x (0) = 0.20$ ， $\dot{x} (0) = 0.60$ （SI単位）の解を求めよ．

答え：(1) $A = 5$ ， $\cos ϕ = \frac{3}{5}$ ， $\sin ϕ = - \frac{4}{5}$ なので $5 \cos (2 t - 0.93)$ ．　(2) $C_{1} = 0.20$ ， $C_{2} = 0.60 / 3 = 0.20$ なので $A = 0.20 \sqrt{2}$ ， $ϕ = - \frac{π}{4}$ ． $x = 0.20 \sqrt{2} \cos (3 t - \frac{π}{4})$ ．

練習 2． (1) $\ddot{x} = - 4 x$ ， $x (0) = 0$ ， $\dot{x} (0) = 1.0$ （SI単位）の解を求めよ．(2) $\ddot{x} = - 25 x$ の周期を求めよ．

答え：(1) $C_{1} = 0$ ， $C_{2} = 1.0 / 2 = 0.50$ なので $x = 0.50 \sin 2 t$ ．(2) $ω = 5$ より $T = 2 π / 5 \approx 1.3 s$ ．

練習 3． $\ddot{x} = - 16 x$ ， $x (0) = - 0.30$ ， $\dot{x} (0) = 1.6$ （SI単位）のとき，解を $A \cos (4 t + ϕ)$ （ $0 \leq ϕ < 2 π$ ）の形に表せ．

答え： $C_{1} = - 0.30$ ， $C_{2} = 1.6 / 4 = 0.40$ なので $A = 0.50$ ． $A \cos ϕ = C_{1}$ ， $A \sin ϕ = - C_{2}$ より $\cos ϕ = - 0.60$ ， $\sin ϕ = - 0.80$ で， $ϕ$ は第3象限にある．電卓で $ϕ \approx π + 0.93 \approx 4.07 rad$ ． $x = 0.50 \cos (4 t + 4.07)$ ．

例題

例題 1

オリジナル ★★☆☆☆

なめらかな水平面上で，ばね定数 $80 N m^{- 1}$ のばねにつないだ質量 $0.20 kg$ のおもりが振動する．自然長の位置を原点に，伸びる向きに $x$ 軸をとる． $t = 0$ にはおもりは $x = 0.030 m$ にあり，正の向きに $0.80 m s^{- 1}$ で動いている．

**［図：初期位置と初速度］**
水平ばねにつながる質量0.20 kgの物体．初期位置は原点の右0.030 m，初速度は青矢印の向きに0.80 m/sである．

周期 $T$ を求めよ．
位置 $x (t)$ を $A \cos (ω t + ϕ)$ の形で求めよ．
速さの最大値と，加速度の大きさの最大値を求めよ．

解答を見る

考え方 一般解に初期条件を入れ，合成する．

$ω = \sqrt{80 / 0.20} = 20 rad s^{- 1}$ ， $T = 2 π / ω \approx 0.31 s$ ．
$C_{1} = 0.030$ ， $C_{2} = v_{0} / ω = 0.040$ ． $A = \sqrt{{0.030}^{2} + {0.040}^{2}} = 0.050 m$ ， $\cos ϕ = 0.6$ ， $\sin ϕ = - 0.8$ より $ϕ = - 0.93 rad$ ．

x = 0.050 \cos (20 t - 0.93) [m]

$A ω = 1.0 m s^{- 1}$ ， $A ω^{2} = 20 m s^{- 2}$ ．

例題 2

オリジナル ★★★☆☆

天井からつるしたばね定数 $40 N m^{- 1}$ の軽いばねに，質量 $0.40 kg$ のおもりをつけ，自然長の位置で静かに放す．鉛直下向きに $y$ 軸をとり，自然長の位置を $y = 0$ とする． $g = 9.8 m s^{- 2}$ とする．

**［図：鉛直ばねの三つの位置］**
同じ高さの天井からつるしたばねを，自然長，つり合い，最下点の順に並べる．破線は共通の自然長位置で，最下点の伸びは未知とする．

つり合いの位置での伸び $d$ を求めよ．
$X = y - d$ が単振動の方程式を満たすことを示し，周期を求めよ．
振幅と，最下点でのばねの伸びを求めよ．
月面（重力加速度は $\frac{1}{6}$ ）での周期は．

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考え方 つり合いの位置を原点にとり直す．

$k d = m g$ より $d = \frac{0.40 \times 9.8}{40} = 0.098 m$ ．
$m \ddot{y} = m g - k y$ に $m g = k d$ を使うと $m \ddot{y} = - k (y - d)$ ． $d$ は定数で $\ddot{X} = \ddot{y}$ だから $m \ddot{X} = - k X$ ．つり合いの位置のまわりの単振動で， $ω = \sqrt{k / m} = 10 rad s^{- 1}$ ， $T = 2 π / ω \approx 0.63 s$ ．
放した瞬間は $X = - d$ ，速度は 0 なので，振幅は $d = 0.098 m$ ．最下点は $X = + d$ なので，伸びは $2 d \approx 0.20 m$ ．
周期の式に $g$ は入らないので，同じ $0.63 s$ （振幅だけが $\frac{1}{6}$ になる）．

例題 3

オリジナル ★★★☆☆

なめらかな水平面上で，ばね定数 $100 N m^{- 1}$ のばねにつないだ質量 $0.25 kg$ のおもりが，振幅 $0.040 m$ で単振動している．

**［図：位置から速さを考えるエネルギー図］**
弾性エネルギーの放物線に全エネルギーの水平線を重ねる．正の位置x=0.020 mに縦の破線を置くが，エネルギー差の値は示さない．

力学的エネルギーと，速さの最大値を求めよ．
$x = 0.020 m$ での速さを求めよ．

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考え方 時刻を経由せず，エネルギー保存を使う．

端では $v = 0$ なので $E = \frac{1}{2} k A^{2} = \frac{1}{2} \times 100 \times {0.040}^{2} = 0.080 J$ ．中心で運動エネルギーが $E$ になるので $v_{max} = \sqrt{2 E / m} = 0.80 m s^{- 1}$ （ $A ω$ と一致）．
$\frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} k x^{2} = \frac{1}{2} k A^{2}$ より $v^{2} = ω^{2} (A^{2} - x^{2})$ ．よって $v = 20 \sqrt{{0.040}^{2} - {0.020}^{2}} \approx 0.69 m s^{- 1}$ ．

ポイントここまでのまとめ

$\ddot{x} = - ω^{2} x$ は線形で，解の重ね合わせも解になる．一般解は $C_{1} \cos ω t + C_{2} \sin ω t$ （定数は2つ）． $C_{1} = x_{0}$ ， $C_{2} = v_{0} / ω$ ．
合成： $A = \sqrt{C_{1}^{2} + C_{2}^{2}}$ ， $\cos ϕ = C_{1} / A$ ， $\sin ϕ = - C_{2} / A$ ．
鉛直ばねは，つり合いの位置から測ると重力が消える．周期は $g$ によらない．
位置から速さは $v^{2} = ω^{2} (A^{2} - x^{2})$ ．