振動

フックの法則と単振動の演習

著者：柚木芹香

つり合いの位置と座標の正方向を決めてから，位置・速度・エネルギーを結びつけてください．同じ位置でも進む向きは2通りあることに注意しましょう．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

滑らかな水平面で，質量 $0.50 kg$ の物体をばね定数 $50 N m^{- 1}$ の軽いばねにつなぐ．自然長の位置から右へ $0.040 m$ 引いて，時刻0に静かに放す．右向きを正とする．

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考え方 初速度0という条件は転回点からの出発を表す．速度は位置の微分，加速度は復元力から求める．

$ω = \sqrt{k / m} = 10 rad s^{- 1}$ ， $T = 2 π / 10 \approx 0.63 s$ ． $x (0) > 0$ ， $v (0) = 0$ なので $A = 0.040 m$ ， $ϕ = 0$ であり， $x (t) = 0.040 \cos 10 t$ （位置はm，時刻はs）となる．
$v = - 0.40 \sin 10 t$ ， $a = - 4.0 \cos 10 t$ である．放した瞬間は $v = 0$ ， $a = - 4.0 m s^{- 2}$ ．最初の原点通過は $10 t = π / 2$ で， $v = - 0.40 m s^{- 1}$ ， $a = 0$ ．原点で力が0でも，それまでに得た速度は残るので静止しない．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

角振動数 $5.0 rad s^{- 1}$ の単振動で， $t = 0$ に $x = - 0.060 m$ ， $v = - 0.40 m s^{- 1}$ であった．

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考え方 正弦の係数は初速度を角振動数で割った値である．位相は正接の値だけでなく，正弦と余弦の符号を合わせて決める．

$x (0) = C_{1}$ ， $v (0) = ω C_{2}$ より $C_{1} = - 0.060 m$ ， $C_{2} = - 0.080 m$ ．したがって $x = - 0.060 \cos 5 t - 0.080 \sin 5 t$ である．
$A = \sqrt{C_{1}^{2} + C_{2}^{2}} = 0.10 m$ ． $\cos ϕ = - 0.60$ ， $\sin ϕ = 0.80$ なので第2象限にあり， $ϕ \approx 2.21 rad$ ．左端では位相が $π$ となるので，最初の到達時刻は $(π - ϕ) / 5.0 \approx 0.19 s$ である．時刻0で左へ動くことと，直後に左端へ達することが整合する． $ϕ$ に $2 π$ の整数倍を足しても運動は同じである．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

質量 $m$ ，ばね定数 $k$ の水平ばね振動で，振幅を $A$ とする．抵抗はない．

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考え方 速さにはエネルギー保存が使えるが，到達時刻には位相の情報が必要である．問題ごとに使う式を選ぶ．

全エネルギーは $E = k A^{2} / 2$ ． $x = A / 2$ では $U = k A^{2} / 8 = E / 4$ ， $K = E - U = 3 E / 4$ だから $K : U = 3 : 1$ ． $m v^{2} / 2 = 3 k A^{2} / 8$ より速さは $\sqrt{3} A ω / 2$ ，ただし $ω = \sqrt{k / m}$ である．この位置で右へ進む場合も左へ進む場合も速さは等しい．
$x = A \cos ω t$ に代入すると $\cos ω t = 1 / 2$ ．最初は $ω t = π / 3$ なので $t = π / (3 ω) = T / 6$ ．振幅を2倍にして $x = A$ まで戻る場合も位相条件は同じで，時間は変わらない．移動距離だけでなく速さも2倍になるためであり，エネルギーは4倍になる．

演習 4

オリジナル ★★★☆☆

鉛直につるした軽いばねの定数を $k$ ，物体の質量を $m$ とする．自然長からの下向きの伸びを $y$ とし， $t = 0$ に $y = 0$ から下向きに速さ $u > 0$ を与える．ばねは圧縮時にもフックの法則に従い，物体は鉛直の案内に沿って動く．

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考え方 重力を含むつり合いの位置へ原点を移すと，定数の力が消える．自然長から測った伸びと振幅を区別する．

$k d = m g$ より $d = m g / k$ ． $m \ddot{y} = m g - k y = - k X$ だから $\ddot{X} = - ω^{2} X$ ， $ω = \sqrt{k / m}$ ． $X (0) = - d$ ， $\dot{X} (0) = u$ より $X = - d \cos ω t + (u / ω) \sin ω t$ である．
合成した振幅は $A = \sqrt{d^{2} + (u / ω)^{2}}$ ，最大の伸びは $y_{max} = d + A$ ．最小は $d - A < 0$ なので自然長より上へ達する．これは圧縮も許す仮定による．つり合いから測るエネルギー $k X^{2} / 2 + m {\dot{X}}^{2} / 2$ の初期値が $k d^{2} / 2 + m u^{2} / 2 = k A^{2} / 2$ となることでも検算できる．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

水平ばねにつながる質量 $m$ の物体が， $x = A$ から静かに出発した．初めて原点を通る瞬間に，右向きの短い力積 $J > 0$ を加える．作用時間中の変位とばねの力積は無視できる．

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考え方 短い作用の前後は運動量変化でつなぎ，その後の振動は直後の位置と速度から決める．力積の作用中に力学的エネルギーは保存しない．

$ω = \sqrt{k / m}$ とすると直前の速度は $- A ω$ ． $m (v_{+} + A ω) = J$ より $v_{+} = J / m - A ω$ ．原点で速度を与えた単振動の振幅は $A_{+} = | v_{+} | / ω = | J / (m ω) - A |$ である．
停止には $J = m A ω$ が必要で，その後はつり合い位置にとどまる．エネルギー変化は $- k A^{2} / 2$ ． $A_{+} = A$ の正の解は $J = 2 m A ω$ で，速度が $- A ω$ から $+ A ω$ に反転し，エネルギー変化は0である．一般には $Δ E = J^{2} / (2 m) - J A ω$ となるので，右向きの力積を加えても必ずエネルギーが増えるわけではない．

ポイント教える人へ