振動

いろいろな単振動

著者：柚木芹香

問い

振り子時計は，ゼンマイが弱って振れ幅が小さくなっても，時刻がほとんど狂いません．振れ幅が変わっても，一往復にかかる時間はほとんど変わらないのです．なぜでしょうか．

考えてみる

単振動の節のばねでは，復元力が変位に比例していたので，周期は振幅によりませんでした．振り子でおもりを引き戻すのは重力ですが，糸が傾くにつれて，重力の円弧の接線方向の成分が変わります．この復元力は，変位に比例するのでしょうか．

素朴には，振れ幅が大きいほど，おもりは遠くまで行くのに，高い所から下りてくるので速くなる，とも考えられます．距離と速さが打ち消し合うかどうかは，式にしてみないと分かりません．

単振り子

質量 $m$ のおもりを長さ $L$ の軽い糸でつるし，糸が鉛直から角度 $θ$ になったとします．おもりは円弧に沿って動くので，その接線方向を考えます．糸の張力は接線方向に成分を持たず，重力の接線成分だけが働くので

m L \ddot{θ} = - m g \sin θ

です．復元力は $θ$ そのものではなく $\sin θ$ に比例します．しかし $θ$ （rad）が小さいとき， $\sin θ \approx θ$ と近似できます． $10^{\circ}$ （ $0.1745 rad$ ）でも $\sin θ = 0.1736$ で，差は 0.5 % ほどです．すると

\ddot{θ} = - \frac{g}{L} θ ⟹ ω = \sqrt{\frac{g}{L}}, T = 2 π \sqrt{\frac{L}{g}}

で，ばねと同じ形の単振動になります．

**［図：振り子の重力の分解］**
鉛直から角θだけ傾いた振り子．赤い重力矢印を，糸に沿うmg cos θと円弧の接線に沿うmg sin θへ分解する．

この式には振れ幅が入っていません．これが問いの答えです．重力も慣性も質量に比例するので質量 $m$ が消え，周期は長さ $L$ と $g$ だけで決まります． $L \approx 0.99 m$ で $T \approx 2.0 s$ です．近似の外では，周期は振れ角が大きいほどわずかに長くなります．その割合は，振れ角 $θ_{0}$ （rad）のときおよそ $θ_{0}^{2} / 16$ で， $3^{\circ}$ で約 0.017 %， $10^{\circ}$ で約 0.19 % です．時計の振り子の振れ角が数度に抑えられているのは，この性質を使うためです．

小さな振動はたいてい単振動

ばねや振り子だけの特別な話ではありません．第6章で見たように，ポテンシャルエネルギー $U (x)$ が $x_{0}$ で $U^{″} (x_{0}) > 0$ の極小のとき，その近くでは放物線で近似できます．

法則小振動

$U^{'} (x_{0}) = 0$ ， $U^{″} (x_{0}) > 0$ のとき，質量 $m$ の粒子の $x_{0}$ のまわりの小さな運動は，近似的に次の単振動になる．

U \approx U (x_{0}) + \frac{1}{2} U^{″} (x_{0}) (x - x_{0})^{2}, ω = \sqrt{\frac{U^{″} (x_{0})}{m}}

谷の曲がりが急なほど，周期は短い． $U^{″} (x_{0}) = 0$ の極小（たとえば $U \propto x^{4}$ ）では放物線で近似できず，単振動にならない．

単振り子で確かめます．高さの基準を最下点にとると $U = m g L (1 - \cos θ)$ ，運動エネルギーは $\frac{1}{2} m (L \dot{θ})^{2}$ なので，質量 $m$ の役目を $m L^{2}$ が果たします． $U^{″} (0) = m g L$ から $ω^{2} = m g L / (m L^{2}) = g / L$ となり，先の結果と一致します．

ばねの直列・並列

ばね定数 $k_{1}$ ， $k_{2}$ のばね2本を並べてつなぐと，伸びが共通なので力は足し合わされ $k = k_{1} + k_{2}$ です．縦に直列につなぐと，各ばねに同じ力 $F$ が働いて伸びが足し合わされ， $F / k = F / k_{1} + F / k_{2}$ より $\frac{1}{k} = \frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}}$ です．同じばね2本なら，並列は $2 k$ で周期が $1 / \sqrt{2}$ 倍，直列は $k / 2$ で周期が $\sqrt{2}$ 倍になります．

**［図：ばねの並列と直列］**
上は壁と物体の間に二本のばねを並列につなぐ配置．下は二本を直列につなぐ配置で，それぞれのばね定数はk₁とk₂である．

液体に浮かぶものの振動

断面積 $S$ ，質量 $m$ の円柱が，密度 $ρ$ の液体に鉛直に浮いています．円柱は側面の一部が液面を貫いたまま動き，周囲の液体の運動による慣性や抵抗は無視できるとします．つり合いの位置から $y$ だけ余計に沈めると，浮力は $ρ g S y$ だけ増え，復元力になります．よって $k = ρ g S$ ， $T = 2 π \sqrt{m / (ρ g S)}$ です．

U字管では，断面積が一定値 $S$ で，非圧縮の液体が全長 $l$ だけ入っていて，管壁との摩擦などの抵抗は無視できるとします．両側の断面積が等しいので，片側の液面が $y$ 下がると反対側が $y$ 上がり，液面差は $2 y$ になります．質量 $ρ S l$ の液体が，復元力 $2 ρ g S y$ を受けるので， $ρ S l \ddot{y} = - 2 ρ g S y$ より $T = 2 π \sqrt{l / (2 g)}$ です．

**［図：浮力と液面差による復元］**
左はつり合いからyだけ押し下げた円柱．右はU字管で左液面がy下がり右液面がy上がった状態．破線はつり合いの液面を表す．

円運動の射影

半径 $A$ の等速円運動（角速度 $ω$ ）の位置の $x$ 成分は $x = A \cos (ω t + ϕ)$ です．加速度は中心を向いて大きさ $A ω^{2}$ で，その $x$ 成分は $- A ω^{2} \cos (ω t + ϕ) = - ω^{2} x$ です．つまり単振動は，等速円運動を横から見たときの影の運動です．角振動数は円運動の角速度，位相は円運動の回転角にあたります．

**［図：円運動の射影と単振動］**
半径Aの円上の点を横軸へ射影する．橙色の点が射影で，右側の余弦曲線の同じ位相にも橙色の点を置く．

ポイントここまでのまとめ

単振り子は $m L \ddot{θ} = - m g \sin θ$ ．小さな振れ（ $\sin θ \approx θ$ ）では単振動で， $T = 2 π \sqrt{L / g}$ ．質量にも振れ幅にもよらない．
$U^{″} (x_{0}) > 0$ のポテンシャルの極小のまわりの小さな運動は，近似的に $ω = \sqrt{U^{″} (x_{0}) / m}$ の単振動になる．
ばねは並列で $k = k_{1} + k_{2}$ ，直列で $1 / k = 1 / k_{1} + 1 / k_{2}$ ．浮かぶ円柱は $k = ρ g S$ ．
単振動は等速円運動の射影である．
問いの答え：振り子の周期は小さな振れでは振れ幅によらないので，振れ幅が少し変わっても時計は狂わない．