振動

テイラー展開と小振動

著者：柚木芹香

第6章の放物線近似（2次の項まで）を高次へ続けた形がテイラー展開です．精度の見積もり方と小振動の手順を整理します．

定理数学の道具：テイラー展開と小振動の手順

滑らかな関数は， $h = x - a$ が小さいとき

f (a + h) \approx f (a) + f^{'} (a) h + \frac{f^{″} (a)}{2} h^{2} + \frac{f^{‴} (a)}{6} h^{3} + \dots

と冪の和で近似できる． $n$ 次の係数は $n$ 階微分を $n!$ で割ったものである．項を増やすほど，また $h$ が小さいほど精度は上がる．無限に続けた級数が元の関数に等しい（収束する）かどうかは関数と $h$ の範囲による．下の表では， $\sin h$ ， $\cos h$ はすべての $h$ ， $\ln (1 + h)$ は $- 1 < h \leq 1$ ， $(1 + h)^{n}$ は $| h | < 1$ で成り立つ．

関数	展開
$\sin h$	$h - \frac{h^{3}}{6} + \dots$
$\cos h$	$1 - \frac{h^{2}}{2} + \frac{h^{4}}{24} - \dots$
$\ln (1 + h)$	$h - \frac{h^{2}}{2} + \dots$
$(1 + h)^{n}$	$1 + n h + \frac{n (n - 1)}{2} h^{2} + \dots$

どこで打ち切るか． 捨てた最初の項が誤差の目安である． $\sin θ \approx θ$ の相対誤差は $θ^{2} / 6$ で， $θ = 0.1$ なら 0.17 % である．

小振動の手順． (1) $U^{'} (q_{0}) = 0$ からつり合いを求める．(2) $U^{″} (q_{0}) > 0$ で安定を確かめる．(3) 運動エネルギーが $\frac{1}{2} M {\dot{q}}^{2}$ の形なら $ω = \sqrt{U^{″} (q_{0}) / M}$ ． $M$ は直線運動では $m$ ，振り子の角度では $m L^{2}$ である．

練習 1． (1) $\ln (1 + h)$ を2次まで展開し， $\ln 1.1$ の近似値を求めよ．(2) $\sin 0.5$ を3次まで展開した値を求め， $\sin 0.5 = 0.4794$ との相対誤差を見よ．

答え：(1) $f^{'} = \frac{1}{1 + h}$ ， $f^{″} = - \frac{1}{(1 + h)^{2}}$ より $h - \frac{h^{2}}{2}$ ． $\ln 1.1 \approx 0.1 - 0.005 = 0.095$ ．　(2) $0.5 - \frac{0.125}{6} = 0.4792$ ．相対誤差は約 0.05 %．

練習 2． (1) $(1 + h)^{- 1 / 2}$ を2次まで展開し， $h = 0.20$ のときの近似値を求めよ．(2) $\cos 0.30$ を2次まで展開した値を求めよ．

答え：(1) $f^{'} = - \frac{1}{2} (1 + h)^{- 3 / 2}$ ， $f^{″} = \frac{3}{4} (1 + h)^{- 5 / 2}$ より $1 - \frac{h}{2} + \frac{3}{8} h^{2}$ ． $h = 0.20$ で $0.915$ （真の値 $0.9129 \dots$ ）．(2) $1 - \frac{{0.30}^{2}}{2} = 0.955$ （真の値 $0.9553 \dots$ ）．

練習 3． 質量 $m$ の粒子のポテンシャルが $U (x) = U_{0} (\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{a^{2}}{x^{2}})$ （ $x > 0$ ， $U_{0}, a > 0$ ）である．小振動の手順に従って，つり合いの位置 $x_{0}$ と，そのまわりの小振動の角振動数 $ω$ を求めよ．

答え： $U^{'} (x) = 2 U_{0} (\frac{x}{a^{2}} - \frac{a^{2}}{x^{3}}) = 0$ より $x_{0} = a$ ． $U^{″} (x) = 2 U_{0} (\frac{1}{a^{2}} + \frac{3 a^{2}}{x^{4}})$ で $U^{″} (a) = \frac{8 U_{0}}{a^{2}} > 0$ （安定）． $ω = \sqrt{\frac{8 U_{0}}{m a^{2}}}$ ．

例題

例題 1

オリジナル ★★☆☆☆

重力加速度 $9.80 m s^{- 2}$ の場所で，長さ $0.993 m$ の単振り子を使った時計がある．

**［図：小角で振れる単振り子］**
長さLの糸の振り子を鉛直線から小角θ₀だけ傾ける．破線は鉛直線である．

小さな振れの周期を求めよ．
糸が 0.020 % 伸びたとき，周期の変化の割合と，1日（ $86400 s$ ）のずれを求めよ．
振れ角 $0.10 rad$ で $\sin θ$ を $θ$ とする相対誤差を求めよ．

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考え方 (2) は $T \propto \sqrt{L}$ を $(1 + h)^{1 / 2} \approx 1 + \frac{h}{2}$ で処理する．

$T = 2 π \sqrt{\frac{0.993}{9.80}} = 2.00 s$ ．
$L$ が $1 + h$ 倍（ $h = 2.0 \times 10^{- 4}$ ）になると $T$ は $\sqrt{1 + h} \approx 1 + \frac{h}{2}$ 倍なので，周期は $1.0 \times 10^{- 4}$ （0.010 %）長くなる．時計は遅れ，1日で約 $8.6 s$ のずれになる．
$\sin θ = θ - \frac{θ^{3}}{6}$ なので，相対誤差は $\frac{θ^{2}}{6} = \frac{0.010}{6} \approx 1.7 \times 10^{- 3}$ （0.17 %）．

例題 2

オリジナル ★★★☆☆

質量 $m$ の粒子が，ポテンシャルエネルギー $U (x) = a x^{4} - b x^{2}$ （ $a, b$ は正の定数）のもとで $x$ 軸上を動く．

**［図：二つの谷と小振動近似］**
四次のポテンシャルが持つ左右二つの谷．右の谷の底x₁付近に二次近似を橙色の破線で重ねる．曲線は規格化した式を数値評価している．

右の谷の底 $x_{1}$ を求めよ．
谷の底のまわりの小さな振動の周期を求めよ．
振幅 $ε$ の振動での最大の速さを求めよ．(2) の結果が使える条件も述べよ．

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考え方 小振動の手順に従う．

$U^{'} = 4 a x^{3} - 2 b x = 0$ より $x = 0$ ， $\pm \sqrt{b / (2 a)}$ ．右の谷の底は $x_{1} = \sqrt{\frac{b}{2 a}}$ ．
$U^{″} = 12 a x^{2} - 2 b$ に $x_{1}^{2} = \frac{b}{2 a}$ を入れて $U^{″} (x_{1}) = 6 b - 2 b = 4 b > 0$ ．よって $ω = \sqrt{\frac{4 b}{m}}$ ， $T = \frac{2 π}{ω} = π \sqrt{\frac{m}{b}}$ ．
最大の速さは $ε ω = 2 ε \sqrt{b / m}$ ．(2) は放物線近似なので， $ε$ が谷の幅（ $x_{1}$ 程度）より十分小さいことが条件である．

例題 3

オリジナル ★★★☆☆

長さ $0.30 m$ ，密度 $600 kg m^{- 3}$ の一様な棒が，密度 $1000 kg m^{- 3}$ の水に鉛直に浮いている．断面積を $S$ とし，重力加速度を $9.8 m s^{- 2}$ ，棒は鉛直を保つものとし，水の抵抗は無視する．

**［図：棒の沈む長さの変化］**
長さlの棒について，つり合いとyだけ押し下げた状態を並べる．沈む長さはそれぞれdとd+yである．

棒が水に沈んでいる長さ $d$ を求めよ．
少し押し下げて放したときの周期を求めよ．
密度 $1200 kg m^{- 3}$ の塩水では，周期はどうなるか．
1. と同じ周期の単振り子の長さを求めよ．

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考え方 浮力のつり合いから $d$ を出し， $y$ だけ余分に沈めたときの浮力の増加を復元力とみる．

重さと浮力のつり合い $ρ_{s} S l g = ρ S d g$ より $d = \frac{ρ_{s}}{ρ} l = \frac{600}{1000} \times 0.30 = 0.18 m$ ．
質量は $m = ρ_{s} S l$ ．余分に沈めた $y$ に対して，浮力は $ρ g S y$ だけ増すので $m \ddot{y} = - ρ g S y$ ．

T = 2 π \sqrt{\frac{ρ_{s} S l}{ρ g S}} = 2 π \sqrt{\frac{d}{g}} = 2 π \sqrt{\frac{0.18}{9.8}} \approx 0.85 s

沈む長さは $d = \frac{600}{1200} \times 0.30 = 0.15 m$ となり， $T = 2 π \sqrt{0.15 / 9.8} \approx 0.78 s$ （密度が大きいほど浅く沈み，周期は短い）．
$T = 2 π \sqrt{d / g}$ は単振り子の $2 π \sqrt{L / g}$ と同じ形なので，長さは $L = d = 0.18 m$ ．

ポイントここまでのまとめ

テイラー展開は $f (a + h) = f (a) + f^{'} (a) h + \frac{1}{2} f^{″} (a) h^{2} + \dots$ ．捨てた最初の項が誤差の目安で， $\sin θ \approx θ$ の相対誤差は $θ^{2} / 6$ ．
小振動の手順は， $U^{'} (q_{0}) = 0$ ， $U^{″} (q_{0}) > 0$ ， $ω = \sqrt{U^{″} (q_{0}) / M}$ （ $M$ は運動エネルギー $\frac{1}{2} M {\dot{q}}^{2}$ の係数）．
単振り子は $T \propto \sqrt{L}$ ．長さの小さな変化は $(1 + h)^{1 / 2} \approx 1 + h / 2$ で処理する．
浮かぶ棒の周期は $2 π \sqrt{d / g}$ （ $d$ は沈む長さ）．