振動

いろいろな単振動の演習

著者：柚木芹香

ばね以外の運動でも，つり合いからの変位に比例する復元力を探してください．小振動の近似が必要な箇所と，モデルの範囲で厳密に比例する箇所を見分けましょう．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

長さ $L = 0.40 m$ の単振り子を小さく振らせる． $g = 10 m s^{- 2}$ とする．

解答を見る

考え方 接線方向の運動方程式では，慣性にも重力にも同じ質量が掛かる．角度の振幅を長さの振幅へ直して速さを求める．

$m L \ddot{θ} = - m g θ$ より $ω = \sqrt{g / L} = 5.0 rad s^{- 1}$ ． $T = 2 π / 5.0 \approx 1.3 s$ である．長さ4倍では $T$ は2倍で約 $2.5 s$ ，質量4倍では変わらない．質量を変えても糸の長さや振幅を保つことが比較の前提である．
円弧に沿う変位の振幅は $L θ_{0} = 0.020 m$ ．速さの最大値は $L θ_{0} ω = 0.10 m s^{- 1}$ ．厳密なエネルギー式 $v^{2} = 2 g L (1 - \cos θ_{0})$ に $1 - \cos θ_{0} \approx θ_{0}^{2} / 2$ を使っても同じ値となる．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

ばね定数が $k$ と $3 k$ の軽いばねを，同じ質量 $m$ の物体と固定壁の間につなぐ．滑らかな水平面での直列配置と並列配置を比較する．

解答を見る

考え方 直列では質量のない接続点で力がつり合い，並列では両ばねの端の変位が等しい．同じになる量を先に決める．

直列は $1 / K_{s} = 1 / k + 1 / (3 k)$ より $K_{s} = 3 k / 4$ ， $T_{s} = 2 π \sqrt{4 m / (3 k)}$ ．並列は $K_{p} = k + 3 k = 4 k$ ， $T_{p} = 2 π \sqrt{m / (4 k)}$ ．周期の比は $T_{s} / T_{p} = 4 / \sqrt{3}$ で，柔らかい直列の方が長い．
直列の伸びを $a_{1}, a_{2}$ とすると $k a_{1} = 3 k a_{2}$ ， $a_{1} + a_{2} = a$ ．したがって $a_{1} = 3 a / 4$ ， $a_{2} = a / 4$ である．並列はどちらも $a$ だけ伸びるので，復元力の大きさは $k a$ と $3 k a$ ．直列で伸びを等分したり，並列で力を等分したりすると接続条件を満たさない．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

断面積 $S$ ，長さ $h$ ，密度 $ρ_{s} = ρ / 4$ の円柱が，密度 $ρ$ の液体に鉛直に浮いている．傾きを防ぐ案内は摩擦がなく，液体の抵抗と付加的に動く液体の慣性は無視する．

解答を見る

考え方 浮力の増加分が復元力になる．断面積が一定でも，全体が沈んだり液面から離れたりすると同じ式は使えない．

$m = ρ S h / 4$ と $m g = ρ g S d$ から $d = h / 4$ ．下向き変位 $y$ に対して $m \ddot{y} = m g - ρ g S (d + y) = - ρ g S y$ ．したがって $ω = \sqrt{4 g / h}$ ， $T = π \sqrt{h / g}$ となる．断面積は慣性と復元力の両方に比例して現れるので消える．
転回点での沈む長さは $d - a$ と $d + a$ ．両方が0と $h$ の間にあればよいので $a < d$ ， $a < h - d$ ．よって $0 < a < h / 4$ である．この条件内なら，採用したモデルでは浮力は変位に厳密に比例する．単に「振幅が小さい」とするより，幾何学的な限界を明示できる．

演習 4

オリジナル ★★★☆☆

断面積 $S$ が一定のU字管に，密度 $ρ$ の液体が全長 $l$ だけ入っている．両側の液面は鉛直な管の部分にあり，大気に開いている．粘性を無視し，管に沿う流速は各点で等しいとする．左の液面をつり合いから下へ $a$ ずらし，静止から放す．

解答を見る

考え方 動くのは液面の差の部分だけではなく液体全体である．液面差が片側の変位の2倍になる点が復元力を決める．

右液面は $y$ 上がり，高さの差は $2 y$ ．圧力差に対応する復元力は $- 2 ρ g S y$ ，動く質量は $ρ S l$ である． $ρ S l \ddot{y} = - 2 ρ g S y$ より $ω = \sqrt{2 g / l}$ ， $T = 2 π \sqrt{l / (2 g)}$ ．密度を変えても同じ長さなら周期は変わらない．
$y = a \cos ω t$ より最大流速は $a \sqrt{2 g / l}$ ．初期位置エネルギーは，準静的に押しずらす仕事 $\int_{0}^{a} 2 ρ g S y d y = ρ g S a^{2}$ である．つり合い通過時の運動エネルギー $(ρ S l) (a^{2} 2 g / l) / 2$ と一致する．液体が管口からこぼれず，液面が鉛直部分を離れない範囲が必要である．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

質量 $m$ の粒子が $x > 0$ の範囲を動き，ポテンシャルが $U (x) = c x^{2} + d / x^{2}$ である． $c, d$ は正の定数とする．

解答を見る

考え方 力を直接解く代わりに，ポテンシャルの停留点と曲率を使う．谷の底の高さは振動数に影響しない．

$U^{'} = 2 c x - 2 d / x^{3} = 0$ より $x_{0} = (d / c)^{1 / 4}$ ． $U^{″} = 2 c + 6 d / x^{4}$ なので $U^{″} (x_{0}) = 8 c > 0$ で安定である．また $x \to 0$ と $x \to \infty$ で $U$ は大きくなるため，正の領域でこの谷は唯一である．
$X = x - x_{0}$ として $U \approx U (x_{0}) + 4 c X^{2}$ ． $m \ddot{X} = - 8 c X$ より $T = 2 π \sqrt{m / (8 c)}$ ． $d$ はつり合い位置を変えるが，この小振動の周期には現れない． $U^{‴} (x_{0}) = - 24 c / x_{0}$ なので，3次の項と2次の項の比の大きさは $| X | / x_{0}$ 程度である．したがって $ε / x_{0}$ が1より十分小さいことが近似条件となり，有限の大振幅についてまでこの周期を保証したわけではない．

ポイント教える人へ