ゆらぎと拡散（発展）

拡散の演習

著者：柚木芹香

自由行程と広がり，流束と濃度の変化を結びつけてください．一定に保つ量も確かめましょう．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

気体の数密度は $n = 2.5 \times 10^{25} m^{- 3}$ ，衝突断面積は $σ = 4.0 \times 10^{- 19} m^{2}$ ，平均の速さは $\bar{v} = 4.7 \times 10^{2} m s^{- 1}$ です．平均自由行程，衝突間の平均時間，拡散係数を見積もってください．

**［図：分子の道のりと変位］**
青い折れ線は，分子が衝突のたびに向きを変えて進む軌跡である．1歩の長さの平均が自由行程λにあたる．緑の破線の矢印は始点から終点への変位であり，進んだ道のり全体とは異なる．

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考え方 掃く円柱に相手の分子が平均1個入る条件から自由行程を求める．

$n σ λ = 1$ より $λ = 1 / (n σ) = 1.0 \times 10^{- 7} m$ ．したがって $τ = λ / \bar{v} \approx 2.1 \times 10^{- 10} s$ ， $D \approx λ \bar{v} / 3 \approx 1.6 \times 10^{- 5} m^{2} s^{- 1}$ である．

演習 2

オリジナル ★☆☆☆☆

静止した液体中の粒子群は平均位置0で拡散します．1方向の幅 $w = \sqrt{⟨ x^{2} ⟩}$ は初め $0.20 mm$ ， $160 s$ 後に $0.60 mm$ でした． $D$ は一定で，壁の影響はありません．

拡散係数を求めてください．
幅が $1.0 mm$ になる時刻を求めてください．

**［図：初期と160秒後の分布の幅］**
原点を中心とする初期の分布と160 s後の分布を重ねた．どちらも粒子数は同じで，幅は平均位置0から片側へ測る標準偏差である．初期幅w₀=0.20 mmに対し，160 s後はw=0.60 mmで，初期にも有限の広がりがある．

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考え方 初期幅を $w_{0}$ とすると，増える分散は $w^{2} - w_{0}^{2} = 2 D t$ である．

$D = ({0.60}^{2} - {0.20}^{2}) \times 10^{- 6} / (2 \times 160) = 1.0 \times 10^{- 9} m^{2} s^{- 1}$ ．
$t = ({1.0}^{2} - {0.20}^{2}) \times 10^{- 6} / (2 D) = 4.8 \times 10^{2} s$ ．初めから数えた時間で，個々の粒子の到達時刻ではない．

演習 3

オリジナル ★☆☆☆☆

同じ理想気体で衝突断面積を一定とします．次の各操作で， $λ, \bar{v}, τ, D$ が元の何倍になるか求めてください．

温度を保ち，圧力を2倍にします．
圧力を保ち，絶対温度を4倍にします．

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考え方 $p = n k_{B} T$ と $\bar{v} \propto \sqrt{T}$ を使い，数密度の変化も追う．

$λ \propto T / p$ ， $D \propto T^{3 / 2} / p$ である．

$n$ は2倍なので，順に $1 / 2$ ，1， $1 / 2$ ， $1 / 2$ 倍．
$n$ は $1 / 4$ 倍なので，順に4，2，2，8倍．等圧では自由行程も増す．

演習 4

オリジナル ★★☆☆☆

同じ厚さ $L$ ，面積 $S$ の膜A，Bを左から重ねます．拡散係数は各膜内で一定で，Aが $D$ ，Bが未知の $D_{B}$ です．両端の濃度を $3 c_{0}$ ， $c_{0}$ に保つと，定常状態の界面濃度は $5 c_{0} / 2$ でした．濃度は数密度で，界面で連続です．流れと反応はありません．

濃度が直線になる理由を述べ， $D_{B}$ と右向きの流束 $J$ を求めてください．
膜の順序を交換したときの界面濃度と，毎秒通過する正味の粒子数を求めてください．

**［図：膜A，Bの配置と界面濃度］**
厚さL，断面積Sの膜A，Bを重ねた配置と，順序を交換した配置を並べる．両端の濃度はどちらも3c₀とc₀に保つ．交換前の界面濃度は測定値5c₀/2を示し，交換後は未知の界面濃度cₘを示す．

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考え方 定常では粒子がたまらず，同じ面積を通る流束は等しい．

各膜で $\partial^{2} c / \partial x^{2} = 0$ なので濃度は直線である．フィックの法則から

J = D \frac{3 c_{0} - 5 c_{0} / 2}{L} = D_{B} \frac{5 c_{0} / 2 - c_{0}}{L}

より $J = D c_{0} / (2 L)$ ， $D_{B} = D / 3$ ．勾配はAが $- c_{0} / (2 L)$ ，Bが $- 3 c_{0} / (2 L)$ で，流束が等しくても異なる．

全濃度差は $2 c_{0} = J (L / D + L / D_{B})$ ．順序を替えても和は同じで， $J$ は変わらない．界面濃度は $3 c_{0} - J L / D_{B} = 3 c_{0} / 2$ ，毎秒の正味の粒子数は $S J = S D c_{0} / (2 L)$ 個である．

演習 5

オリジナル ★★☆☆☆

温度 $T = 300 K$ の静止した液体中で，粒子に正の $x$ 方向の一定の力 $F = 5.0 \times 10^{- 15} N$ を加えると，平均の速度は $u = 1.0 \times 10^{- 6} m s^{- 1}$ でした．移動度は一定で，慣性と壁の影響は無視します． $k_{B} = 1.38 \times 10^{- 23} J K^{- 1}$ とします．

移動度と拡散係数を求めてください．
原点から出発した粒子群の平均位置の移動量が，中心からの幅 $\sqrt{2 D t}$ に等しくなる時刻を求めてください．

**［図：外力による平均位置の移動と拡散の幅］**
原点0から出発した粒子群に正のx方向の外力Fを加えると，分布の中心は平均速度uで移動する．原点から平均位置までの距離utと，平均位置を中心とする幅√(2Dt)を別の寸法線で示す．

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考え方 $u = μ_{m} F$ とアインシュタインの関係をつなぐ．

$μ_{m} = u / F = 2.0 \times 10^{8} m s^{- 1} N^{- 1}$ ， $D = μ_{m} k_{B} T \approx 8.3 \times 10^{- 13} m^{2} s^{- 1}$ ．
平均位置は $u t$ だから，正の時刻では $u t = \sqrt{2 D t}$ より $t = 2 D / u^{2} \approx 1.7 s$ ．外力があると $⟨ x^{2} ⟩ = (u t)^{2} + 2 D t$ であり， $2 D t$ は平均位置のまわりの分散である．

演習 6

オリジナル ★★★☆☆

長さ $L$ ，断面積 $S$ の閉じた管で，粒子の濃度が

c (x, t) = c_{0} [1 + ϵ f (t) \cos \frac{2 π x}{L}], 0 \leq x \leq L, 0 < ϵ < 1, f (0) = 1

の形を保つとします． $D$ は一定で，流れと反応はありません．

拡散方程式から $f (t)$ を求め，両端で流束が0であることを確かめてください．
最大濃度と最小濃度の差が半分になる時間と，総粒子数を求めてください．

**［図：閉じた管と余弦の初期濃度分布］**
長さL，断面積Sの管の両端を封じた配置と，余弦1周期の初期濃度分布を示す．濃度は両端で高く中央で低く，平均の高さはc₀である．両端を通る流束は0である．

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考え方 空間の形を代入すると，振幅の微分方程式になる．

$\partial^{2} c / \partial x^{2} = - (2 π / L)^{2} (c - c_{0})$ を $\partial c / \partial t = D \partial^{2} c / \partial x^{2}$ に入れると， $d f / d t = - 4 π^{2} D f / L^{2}$ ．初期条件より $f = e^{- 4 π^{2} D t / L^{2}}$ ． $\partial c / \partial x$ は $\sin (2 π x / L)$ に比例し，両端で0なので $J = - D \partial c / \partial x = 0$ である．
差は $2 c_{0} ϵ f$ ． $f = 1 / 2$ より $t = L^{2} \ln 2 / (4 π^{2} D)$ ．余弦の積分が0だから， $N = S \int_{0}^{L} c d x = S c_{0} L$ は一定で，粒子が失われずに均一化する．

ポイント教える人へ

自由行程と変位，幅と分散を区別させる．
温度を変えるとき，保つ量を問う．
定常なら濃度も一定というつまずきには，直線分布と一定の流束を描かせる．
膜の順序で変わる量を，勾配と粒子保存で確かめる．
平均位置と分散，局所濃度と総数を別々に説明させる．