運動量と質点系

第5章のまとめ

著者：柚木芹香

この章では，運動方程式を時間で積分して運動量と力積を導き，内力が打ち消し合うことから保存則を得ました．そして視点を1つの物体から物体の集まり（質点系）へ広げ，重心，衝突，質量が変わる系，2体問題を調べました．ここで定義と法則を一覧にし，各節の最初の問いに短く答えます．

定義と法則

法則運動量と力積

運動量 $p = m v$ ，力積 $I = \int F d t$ ．運動方程式を時間で積分すると $Δ p = I$ ．
短い衝突では，平均の力 $\bar{F} = Δ p / Δ t$ が使える．衝突の時間が長いほど，同じ力積でも平均の力は小さい．
運動量保存：物体の系に外力が働かない（または，ある向きの外力の合力が0）とき，全運動量（またはその向きの成分）は一定である．外力の力積が無視できる短い衝突でも，その間は近似的に一定とみなせる．内力は作用反作用で打ち消し合う．

法則重心

重心 $r_{G} = \frac{\sum m_{i} r_{i}}{\sum m_{i}}$ ，質点系の運動方程式 $M {\ddot{r}}_{G} = F_{外}$ ．内力は打ち消し合い，重心の運動は外力だけで決まる．
外力が無ければ重心は等速直線運動をする．重心が静止し続ける例が，氷の上の人と板である．

法則衝突

反発係数 $e = - \frac{u_{1} - u_{2}}{v_{1} - v_{2}}$ （ $v$ は衝突前， $u$ は衝突後の速度）． $e = 1$ が弾性衝突， $0 < e < 1$ が非弾性衝突， $e = 0$ が完全非弾性衝突．
1次元の衝突は，運動量保存と反発係数の2式を連立して解く．2次元では成分ごとに運動量保存を使う．
1次元の衝突を重心系で見ると，各物体の速度は向きが逆になり，大きさが $e$ 倍になる．弾性衝突（ $e = 1$ ）なら速さは変わらない．2次元では，法線成分と接線成分に分けて考える．

法則ロケットの運動方程式

外力が無いとき $m d v = - u d m$ ．噴射速度 $u$ が一定ならツィオルコフスキーの式 $v = u \ln \frac{m_{0}}{m}$ ．
鉛直上向きに飛び， $g$ が一定で空気抵抗が無く，初速度0， $u$ が一定のとき $v = u \ln \frac{m_{0}}{m} - g t$ ．推力は噴射速度と毎秒の噴射質量の積である．

法則 2体問題

外力が無い2体は，重心の等速直線運動と，換算質量 $μ = \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}}$ の1体の運動 $μ \ddot{r} = F$ （ $r = r_{1} - r_{2}$ ）に分かれる．
重心系で各物体の重心からの距離と速さは，質量の逆比である．

手順

ポイント運動量と質点系の問題を解く手順

注目する物体の集まり（系）を決める．力を「系の内側のもの」と「外から働くもの」に分ける．
向きごとに，系に働く外力の合力（または外力の力積）を調べる．それが0（または無視できる）向きの全運動量は保存する．力があるかどうかではなく，合力で判断する．たとえば重力と垂直抗力がつり合えば鉛直成分も保存し，摩擦があれば水平成分も保存しない．
外力の力積が無視できる短い衝突では，衝突の前後だけを比べる．途中の力が分からなくても，運動量保存と反発係数で解ける．床や壁から受ける力は無視できない．
重心を使えるかを考える．重心の運動は外力だけで決まり，重心系に移ると衝突や2体の運動が簡単になる．
質量が変わる系は，微小時間 $d t$ で運動量の収支を数える．持ち去られた分も系に含める．
極端な場合（質量が非常に大きい， $e = 0$ や $1$ ， $m_{0} / m$ が1に近い）で検算する．

主な公式

運動量保存： $m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2}$
力積： $Δ p = \bar{F} Δ t$
重心： $r_{G} = \frac{m_{1} r_{1} + m_{2} r_{2}}{m_{1} + m_{2}}$ ， $M {\ddot{r}}_{G} = F_{外}$
ロケット： $v = u \ln \frac{m_{0}}{m}$ （鉛直上向きに飛び， $g$ が一定で空気抵抗が無く初速度0のとき，重力の分は $- g t$ ）
2体問題： $μ = \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}}$ ，円軌道では $ω^{2} = \frac{G M}{a^{3}}$

各節の問いへの答え

運動量と力積：同じ速さの野球ボールと鉄の球では，質量が違うので運動量 $m v$ が違う．止めるには運動量を $0$ にする力積が必要で，質量の大きいほうが大きな力積を要する．「速さ」だけでは足りず，質量と速さの積が衝撃の目安になる．手を引いて受けると，同じ力積を長い時間で受けるので平均の力が小さくなる．
重心と質点系：回転しながら飛ぶバットでも，回転の仕方によらず放物線を描くのは重心である．重心の運動は外力（重力）だけで決まり，内力や回転には影響されない．
衝突：運動量保存だけでは衝突後の2つの速度が決まらず，反発係数 $e$ がもう1つの式になる．質量が等しい球の弾性衝突（ $e = 1$ ）では速度が入れ替わるので，止まっている的球に手球が正面から当たると，手球は止まり，的球が手球の速度で進む．
ロケットと質量が変わる系：ロケットは押す相手が外に無くても，ガスを後ろへ噴射し，その反作用で進む．ロケットとガスを合わせた運動量は保存する． $v = u \ln (m_{0} / m)$ なので，質量比 $m_{0} / m$ がネイピア数 $e$ （約2.7）を超えれば，噴射速度 $u$ より大きな速さになれる．
2体問題：月の軌道を円と近似すると，地球も月と同じ重心を中心に円を描いて動く．地球と月の重心は地球の内部にあり，地球の中心の描く円の半径は約 $4.7 \times 10^{3} km$ である．

この章で使った数学

ベクトルの時間積分，和の記号 $\sum$ と加重平均，連立方程式（和と差），微小量と対数の積分，座標の書き換え（重心座標と相対座標）がありました．