仕事とエネルギー

仕事

著者：柚木芹香

問い

重い荷物を持って，平らな道を歩きます．腕はだるくなり，汗も出てきます．ところが物理では，この間，荷物を支える力は「仕事をしていない」と言います．同じ荷物を階段で2階まで運び上げると，今度は「仕事をした」と言います．この違いはどこから来るのでしょうか．

考えてみる

日常のことばの「仕事」は，がんばった量で決まります．物理では，力が物体に対して何をしたかで決めます．まず素朴に，仕事は「力×動いた距離」だと考えてみます．力が大きく，動いた距離が長いほど，たくさん仕事をしたと感じるからです．ここで困るのは，荷物を持って水平に歩く場合です．荷物を支える力は上向きですが，荷物は水平に動いています．上向きの力は，荷物を前へ進める向きの成分をもたないので，荷物を前へ押すことも，水平方向の速さを変えることもありません．荷物が等速で運ばれるのは，支える力が重力を打ち消して合力が $0$ になっているからです．

そこで，力のうち動く向きの成分だけを数えることにします．階段を上るときは，荷物の変位に高さが増える成分（鉛直上向きの成分）があるので，上向きの力はその成分の分だけ数えられます．荷物を一定の力 $m g$ で支えて高さを $Δ y$ だけ上げるなら，数えられる量は $m g Δ y$ です．水平に歩くときは，力が動く向きに垂直で，動く向きの成分が $0$ なので，何も数えません．

**［図：荷物を支える力と変位］**
荷物を支える力と変位．荷物を持って水平に歩く人と，階段を上がる人を並べて描く．それぞれ，荷物を支える力（上向き）と荷物の移動の向きを矢印で示し，二つの矢印のなす角を記入する．

疲れについては，こう考えます．筋肉は，力を出し続けるだけでも体の中のエネルギーを使います．これは筋肉の側の事情で，荷物に仕事をしているかどうかとは別の話です．机は力を出し続けても何も消費しないので，疲れません．

仕事の定義

物体に一定の力 $F$ がはたらき，その間に物体が変位 $s$ だけ動いたとします． $F$ と $s$ のなす角を $θ$ とすると，動く向きの成分は $F \cos θ$ です．

定義仕事（一定の力）

W = F s \cos θ = F \cdot s

単位は $J$ （ジュール）で， $J = N m = kg m^{2} s^{- 2}$ ．

$0 \leq θ < 90^{\circ}$ ： $W > 0$ （力が動きを後押しする）
$θ = 90^{\circ}$ ： $W = 0$ （力が動きに垂直）
$90^{\circ} < θ \leq 180^{\circ}$ ： $W < 0$ （力が動きにブレーキをかける）

$F \cdot s$ は2本のベクトルの内積です．成分での計算は次の節で扱います．

**［図：力の変位方向への分解］**
力の変位方向への分解．斜め上向きの力 $\vec{F}$ で水平面上の物体を距離 $s$ だけ動かす．$\vec{F}$ を動く向きの成分 $F\cos\theta$ と，垂直な成分 $F\sin\theta$ に分けて示す．

$1 J$ は，小さなリンゴ（約 $0.1 kg$ ，重力は約 $1 N$ ）を $1 m$ 持ち上げる仕事ほどです．

力が一定でなかったり，経路が曲がっていたりするときは，経路を短い区間に分け，各区間では力が一定とみなして足し合わせます．区間を限りなく細かくした極限が積分です．

定義仕事（一般の場合）

物体が経路に沿って点 A から点 B まで動く間に，力 $F$ がする仕事は

W = \int_{A}^{B} F \cdot d r

である．直線上の運動で力が位置 $x$ の関数なら， $W = \int_{x_{1}}^{x_{2}} F (x) d x$ となり， $F$ - $x$ グラフの面積に等しい．

**［図：力の積分と仕事］**
力の積分と仕事．横軸 $x$，縦軸 $F$ のグラフに，右上がりの曲線 $F(x)$ を示している．$x_1$ から $x_2$ の間を細い短冊に分け，面積が仕事に当たることを示す．

仕事率

単位時間あたりの仕事を仕事率といいます．

定義仕事率

P = \frac{d W}{d t} = F \cdot v

単位は $W$ （ワット）で， $W = J s^{- 1} = kg m^{2} s^{- 3}$ ．

$F \cdot v$ となるのは，微小時間 $d t$ の変位が $d r = v d t$ だからです．たとえば $60 kg$ の人が高さ $3 m$ の階段を $5 s$ で上ると，仕事は約 $1.8 \times 10^{3} J$ ， $5 s$ 間の平均の仕事率は約 $3.5 \times 10^{2} W$ です．一定の速さで上るなら，各瞬間の仕事率もこの値になります．

運動エネルギーと仕事の定理

力がする仕事は，運動のどんな変化に結びつくのでしょうか．運動方程式から確かめます．質量 $m$ の物体の運動方程式

m \frac{d v}{d t} = F

の両辺に，速度 $v$ との内積をとります．

m v \cdot \frac{d v}{d t} = F \cdot v

左辺は， $v \cdot v = v_{x}^{2} + v_{y}^{2} + v_{z}^{2}$ を成分ごとに微分すると $\frac{d}{d t} (v \cdot v) = 2 (v_{x} {\dot{v}}_{x} + v_{y} {\dot{v}}_{y} + v_{z} {\dot{v}}_{z}) = 2 v \cdot \frac{d v}{d t}$ となることから $\frac{d}{d t} (\frac{1}{2} m v^{2})$ と書き直せます．右辺は仕事率です．時刻 $t_{1}$ から $t_{2}$ まで積分すると，

\frac{1}{2} m v_{2}^{2} - \frac{1}{2} m v_{1}^{2} = \int_{t_{1}}^{t_{2}} F \cdot v d t = \int_{A}^{B} F \cdot d r = W

となります．

法則仕事と運動エネルギーの定理

$K = \frac{1}{2} m v^{2}$ を運動エネルギーという．物体にはたらく力の仕事の合計は，運動エネルギーの変化に等しい．

K_{2} - K_{1} = W

個々の力ではなく仕事の合計が正なら物体は速くなり，負なら遅くなります．冒頭の荷物の話も，これで整理できます．水平に歩くとき，荷物にはたらく重力と手が支える力はどちらも変位に垂直なので，どちらの仕事も $0$ で，運動エネルギーは変わらず，荷物は等速で運ばれます．階段を一定の速さで運び上げるときは，支える力が正の仕事，重力がそれと同じ大きさの負の仕事をして，合計は $0$ になります．

簡単な例で確かめましょう．なめらかな水平面で，静止していた質量 $2 kg$ の物体を，一定の水平な力 $4 N$ で $4 m$ 押します．仕事は $4 \times 4 = 16 J$ ．よって $\frac{1}{2} \times 2 \times v^{2} = 16$ から $v = 4 m s^{- 1}$ です．運動方程式から $a = 2 m s^{- 2}$ を出し， $v^{2} = 2 a s$ に入れても同じ値で，両者は同じ式の別の書き方です．

ブレーキをかけた車では，摩擦力が負の仕事をして運動エネルギーが減ります．ブレーキの力の大きさが一定なら，止まるまでの距離は失う運動エネルギーに比例します．運動エネルギーは $v^{2}$ に比例するので，距離は速さの2乗に比例して延びます．

ポイントここまでのまとめ

仕事は，力のうち動く向きの成分×距離．一定の力なら $W = F \cdot s = F s \cos θ$ ，一般には $W = \int F \cdot d r$ ．単位は $J = kg m^{2} s^{- 2}$ ．
仕事率は $P = F \cdot v$ ．単位は $W = J s^{- 1}$ ．
運動エネルギー $K = \frac{1}{2} m v^{2}$ は，仕事の合計だけ変わる： $K_{2} - K_{1} = W$ ．運動方程式に $v$ をかけて積分して得られる．
問いの答え：水平に歩くとき，荷物を支える力は動きに垂直で仕事が $0$ ．階段では変位に力の向きの成分（高さの増加）があるので仕事をする．疲れは筋肉の中のエネルギー消費で，荷物への仕事とは別のもの．