仕事とエネルギー

仕事と内積・積分

著者：柚木芹香

内積と，仕事の積分の求め方を整えます．

内積と仕事の積分

定理数学の道具：内積と仕事の積分

第3章で学んだ内積を振り返り，仕事の計算につなげる．

内積の定義　2本のベクトル $a, b$ のなす角を $θ$ とするとき

a \cdot b = a b \cos θ

で定める（結果は数）．垂直なら $0$ ， $a \cdot a = a^{2}$ ．

成分表示　 $a = (a_{x}, a_{y})$ ， $b = (b_{x}, b_{y})$ とする． ${| a - b |}^{2}$ を余弦定理で書くと $a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos θ$ ，成分で書くと $a^{2} + b^{2} - 2 (a_{x} b_{x} + a_{y} b_{y})$ なので

a \cdot b = a_{x} b_{x} + a_{y} b_{y} (3次元なら + a_{z} b_{z})

である．

仕事の積分の計算　一直線上で力が位置の関数 $F (x)$ なら， $W = \int_{x_{1}}^{x_{2}} F (x) d x$ を積分で計算する．経路が曲がっているときは，経路を時刻 $t$ で表して $r (t)$ とし， $d r = \frac{d r}{d t} d t$ と置き換える．

W = \int_{t_{1}}^{t_{2}} F \cdot \frac{d r}{d t} d t = \int_{t_{1}}^{t_{2}} (F_{x} \frac{d x}{d t} + F_{y} \frac{d y}{d t}) d t

練習 1．

$a = (1, 2)$ ， $b = (3, - 1)$ の内積と，なす角の余弦を求めよ．
直線上で力 $F = 3 x^{2} N$ （ $x$ は $m$ の数値）を受けて， $x = 0$ から $2 m$ まで動く間の仕事を求めよ．

答え：(1) $a \cdot b = 1 \cdot 3 + 2 \cdot (- 1) = 1$ ． $a = \sqrt{5}$ ， $b = \sqrt{10}$ なので $\cos θ = \frac{1}{\sqrt{50}} \approx 0.14$ ．　(2) $W = \int_{0}^{2} 3 x^{2} d x = 8 J$ ．

練習 2． (1) $a = (2, 1, - 2)$ ， $b = (1, 2, 2)$ のなす角を求めよ．(2) 一定の力 $F = (2.0, 3.0) N$ を受けて，物体が $Δ r = (4.0, - 1.0) m$ だけ動いた．力がした仕事を求めよ．(3) ばねの力 $F = - k x$ （ $k = 50 N m^{- 1}$ ）が， $x = 0$ から $0.10 m$ まで動く間にする仕事を求めよ．

答え：(1) $a \cdot b = 2 + 2 - 4 = 0$ なので $90^{\circ}$ ．(2) $W = 2.0 \times 4.0 + 3.0 \times (- 1.0) = 5.0 J$ ．(3) $W = \int_{0}^{0.10} (- 50 x) d x = - 25 \times {0.10}^{2} = - 0.25 J$ ．

例題

例題 1

オリジナル ★★☆☆☆

傾き $30^{\circ}$ の斜面の下端にある質量 $5.0 kg$ の物体を，斜面に平行な力 $F$ で，一定の速さで $4.0 m$ 押し上げる．動摩擦係数は $0.20$ ，重力加速度は $9.8 m s^{- 2}$ とする．

**［図：斜面での力と変位］**
斜面での力と変位．傾き $30^\circ$ の斜面上の物体を，斜面に平行な力で押し上げる．重力・垂直抗力・摩擦力・押す力を矢印で示し，移動距離 $4.0\,\mathrm{m}$ を記入する．

押す力 $F$ を求めよ．
押す力，重力，垂直抗力，摩擦力がする仕事をそれぞれ求め，合計が仕事と運動エネルギーの定理と合うことを確かめよ．

解答を見る

考え方 一定の速さなので力はつり合っている．各力の仕事は $F s \cos θ$ で求める．

垂直方向のつり合いから $N = m g \cos 30^{\circ} \approx 42 N$ ，動摩擦力は $μ^{'} N \approx 8.5 N$ （斜面を下る向き）．平行方向のつり合いから $F = m g \sin 30^{\circ} + μ^{'} N \approx 33 N$ ．
変位は斜面を上る向きに $4.0 m$ ．押す力は同じ向きで $W_{F} = 33 \times 4.0 \approx 1.3 \times 10^{2} J$ ．重力の斜面方向の成分 $24.5 N$ は逆向きで $W_{g} = - 98 J$ ．垂直抗力は変位に垂直で $W_{N} = 0$ ．摩擦力は逆向きで $W_{f} = - 8.5 \times 4.0 \approx - 34 J$ ．合計は $132 - 98 + 0 - 34 \approx 0 J$ で， $K_{2} - K_{1} = 0$ と合う．同じ高さまで真上に持ち上げる仕事 $m g h = 98 J$ より，摩擦の分 $34 J$ だけ多い．

例題 2

オリジナル ★★☆☆☆

ばねが物体に及ぼす力は，自然長に戻る向きで大きさ $k x$ （ $x$ は自然長からの伸び）である． $k = 200 N m^{- 1}$ とする．

**［図：ばねの自然長と伸び］**
ばねの自然長と伸び．水平な床の上で，一端を壁に固定したばねと物体．自然長の位置と伸ばした位置を並べて示す．

ばねを自然長からゆっくり $0.10 m$ 伸ばすとき，手がする仕事を求めよ．
その位置で，なめらかな床の上の質量 $0.50 kg$ の物体（ばねの端につながっている）を静かに放す．自然長を通るときの速さを求めよ．

解答を見る

考え方 力が $x$ の関数なので，仕事は $\int F d x$ で求める．

ゆっくり伸ばすので，手の力はばねの力 $k x$ とつり合う．

W = \int_{0}^{0.10} k x d x = \frac{1}{2} k (0.10)^{2} = \frac{1}{2} \times 200 \times 0.010 = 1.0 J

一般に，伸び $x$ までの仕事は $\frac{1}{2} k x^{2}$ ．

放した後は，ばねの力だけが仕事をする． $x = 0.10$ から $0$ まで動く間に

W = \int_{0.10}^{0} (- k x) d x = \frac{1}{2} k (0.10)^{2} = 1.0 J

仕事と運動エネルギーの定理より $\frac{1}{2} \times 0.50 \times v^{2} = 1.0$ ，よって $v = 2.0 m s^{- 1}$ ．

例題 3

オリジナル ★★★☆☆

$x y$ 平面上で，物体に位置 $(x, y)$ で決まる力 $F = c (- y, x)$ （ $c = 2.0 N m^{- 1}$ ）がはたらく．原点 O から B $(1.0, 1.0)$ （単位は $m$ ）まで動かす．次の2つの経路で仕事を求め，気づくことを述べよ．

**［図：2本の積分経路］**
2本の積分経路．$xy$ 平面に，O，A$(1,0)$，B$(1,1)$ を示している．経路1（O から A を通って B へ）を実線，経路2（O から B へ直線）を破線で示す．力の矢印は描かない．

経路1：O から A $(1.0, 0)$ へ $x$ 軸に沿って動き，A から B へ $y$ 軸に平行に動く．経路2：O から B へ直線で動く．

解答を見る

考え方 各区間で $F \cdot d r$ を作って積分する．

経路1：O→A では $y = 0$ ， $d r = (d x, 0)$ ， $F = c (0, x)$ なので $F \cdot d r = 0$ ．A→B では $x = 1.0$ ， $d r = (0, d y)$ ， $F = c (- y, 1.0)$ なので $F \cdot d r = c d y$ ．よって $W = \int_{0}^{1.0} c d y = 2.0 J$ ．

経路2： $x = y = t$ （ $0 \leq t \leq 1.0$ ）で $F = c (- t, t)$ ， $d r = (d t, d t)$ ． $F \cdot d r = c (- t + t) d t = 0$ なので $W = 0$ ．

始点と終点が同じでも，仕事は $2.0 J$ と $0$ で異なる．次の節で，これを「保存力ではない」と呼ぶ．

ポイントここまでのまとめ

内積は $a \cdot b = a b \cos θ = a_{x} b_{x} + a_{y} b_{y}$ ．垂直なら $0$ ．仕事は力と変位の内積．
曲がった経路は $r (t)$ で表し， $W = \int F \cdot \frac{d r}{d t} d t$ を $t$ の積分として計算する．
ばねを伸びゼロから $x$ まで伸ばす仕事は $\frac{1}{2} k x^{2}$ ．
力によっては，始点と終点が同じでも仕事が経路で変わる（例題 3）．