熱力学の法則

熱量保存と潜熱の例題

著者：柚木芹香

数学の道具

ポイント数学の道具：熱量保存の立式

断熱した容器の中で物体どうしが熱をやりとりし，体積仕事も外からの仕事もないときは，各物体が受け取った熱量の和が0になります．

\sum_{i} Q_{i} = 0, Q_{i} = m_{i} c_{i} (T_{f} - T_{i})

受け取る熱を正，失う熱を負として符号つきで足すのがこつです．「高温側が失った熱＝低温側が得た熱」は，これを2物体の場合に書き直したものに過ぎません．熱をやりとりするのは中身だけではなく，容器（熱量計）の本体・かき混ぜ棒・温度計も同じ温度変化を受けるので，それらの熱容量を1つの項 $C_{計} (T_{f} - T_{i})$ として入れます．落とすと，求めた比熱は必ず小さめに出ます．

練習． 熱容量 $50 J K^{- 1}$ の容器に $20^{\circ} C$ の水 $0.10 kg$ がある． $80^{\circ} C$ の水 $0.10 kg$ を加えた最終温度を，容器の熱容量を入れた場合と無視した場合で求めよ（水の比熱 $4.2 \times 10^{3} J {kg}^{- 1} K^{- 1}$ ）．

答え： $(420 + 50) (T_{f} - 20) + 420 (T_{f} - 80) = 0$ より $T_{f} \approx 48.3^{\circ} C$ ．無視すると $50^{\circ} C$

定義相変化と潜熱

一定の圧力のもとで，固体が液体になる（融解）ときや液体が気体になる（蒸発）ときには，温度が変わらないまま熱を吸収する．単位質量あたりに要する熱量を潜熱といい，必要な熱量は

Q = m L

である．融解熱 $L_{f}$ ，蒸発熱 $L_{v}$ と書く．逆向き（凝固・凝縮）では同じ量の熱を放出する．2つの相が共存している間，温度は相変化の温度に留まる．水では $L_{f} = 3.3 \times 10^{5} J {kg}^{- 1}$ ， $L_{v} = 2.3 \times 10^{6} J {kg}^{- 1}$ である．

ポイント相が残るかどうかの判定

相変化を含む問題で最終温度をいきなり文字で置くと失敗します．(1) 相変化が始まる温度（氷なら $0^{\circ} C$ ）まで各物体を持ってくるのに出入りする熱量を計算し，(2) 余った熱量と相変化を全部終えるのに要る $m L$ を比べます．(3) 余りが小さければ相変化は途中で止まり，温度は相変化の温度のままで，変化した質量が $Q / L$ で決まります．(4) 余りが大きければ全部相変化し，残りの熱で温度が動くので，そこで初めて $T_{f}$ を未知数にします．

例題

例題 1

オリジナル ★★☆☆☆

熱容量 $80 J K^{- 1}$ の熱量計に $20.0^{\circ} C$ の水 $0.20 kg$ を入れ， $1.0 \times 10^{2}^{\circ} C$ に熱した金属球 $0.10 kg$ を素早く入れてかき混ぜると，全体が $24.0^{\circ} C$ で落ち着いた．水の比熱を $4.2 \times 10^{3} J {kg}^{- 1} K^{- 1}$ とする．

**［図：金属球の熱を受け取る熱量計］**
断熱材に包まれた熱量計の断面．20.0 °Cの水0.20 kgに100 °Cの金属球0.10 kgを入れ，かき混ぜ棒で混ぜて温度計を読む．赤い矢印は金属球から水と熱量計へ移る熱Qを示す．熱量計の熱容量C計は80 J K−1で，全体の最終温度は24.0 °C．

金属の比熱を求めよ．
熱量計の熱容量を忘れて計算すると，答えは何 % 小さく出るか．
外へ熱が逃げると，求めた比熱は大きめに出るか小さめに出るか．逃げる熱を無視できるのはどんな条件か．

解答を見る

考え方 受け取る熱を正として $\sum Q_{i} = 0$ を立てる．水と熱量計は同じ温度変化をするので，まとめて扱える．

水と熱量計の熱容量は $0.20 \times 4.2 \times 10^{3} + 80 = 9.2 \times 10^{2} J K^{- 1}$ で，温度は $4.0 K$ 上がる．金属は $76.0 K$ 下がるので

9.2 \times 10^{2} \times 4.0 + 0.10 c \times (- 76.0) = 0

より $c = 3.68 \times 10^{3} / 7.60 \approx 4.8 \times 10^{2} J {kg}^{- 1} K^{- 1}$ ．鉄に近い値である．

熱容量を $8.4 \times 10^{2} J K^{- 1}$ とすると $c \approx 4.4 \times 10^{2} J {kg}^{- 1} K^{- 1}$ で，約 9 % 小さい．容器が受け取った熱を落とすと，金属が出した熱を少なく見積もる．
小さめに出る．逃げた熱の分だけ測る温度上昇が小さくなるからである．無視できるのは，落ち着くまでの時間が容器が室温へ冷える時間よりずっと短く，水と室温の差が測る温度上昇に比べて小さいときである．差が大きいときは温度の時間変化を記録し，最高温度を外挿で補正する．

例題 2

オリジナル ★★☆☆☆

熱容量の無視できる断熱容器に $20^{\circ} C$ の水 $0.20 kg$ が入っている．ここへ $0^{\circ} C$ の氷を入れる．水の比熱を $4.2 \times 10^{3} J {kg}^{- 1} K^{- 1}$ ，氷の融解熱を $3.3 \times 10^{5} J {kg}^{- 1}$ とする．

**［図：氷の質量で変わる最終温度と残る氷］**
20 °Cの水0.20 kgへ0 °Cの氷を加えたときの最終温度Tf．氷が全部融ける範囲では熱量保存から温度が20 °Cから0 °Cへ下がる．境目は約0.051 kgで，それを超えると氷と水が共存し，温度は0 °Cに留まる．0.10 kgを加えた場合は氷が約0.049 kg残る．

氷 $0.050 kg$ を入れたときの最終温度を求めよ．
氷 $0.10 kg$ を入れたときの最終状態（温度と，残る氷の質量）を求めよ．
氷がちょうど全部融けて $0^{\circ} C$ になる氷の質量を求めよ．

解答を見る

考え方 まず水が $0^{\circ} C$ まで冷えるときに出せる熱と，氷を全部融かすのに要る熱を比べる．

水が $0^{\circ} C$ まで冷えて出す熱は $0.20 \times 4.2 \times 10^{3} \times 20 = 1.68 \times 10^{4} J$ である．

全部融かすのに要る熱は $0.050 \times 3.3 \times 10^{5} = 1.65 \times 10^{4} J$ で，これより小さい．氷は全部融け，残った $3.0 \times 10^{2} J$ が $0.25 kg$ の水を温めるので $Δ T \approx 0.29 K$ ，最終温度は約 $0.3^{\circ} C$ である．
全部融かすには $3.3 \times 10^{4} J$ 要るが，使えるのは $1.68 \times 10^{4} J$ しかない．融けるのは $0.051 kg$ で，氷が約 $0.049 kg$ 残る．氷と水が共存するので最終温度は $0^{\circ} C$ である．ここで $T_{f}$ を未知数にすると $0^{\circ} C$ より低い答えが出て意味を失う．
$1.68 \times 10^{4} = m \times 3.3 \times 10^{5}$ から $m \approx 0.051 kg$ ．これより少なければ (1)，多ければ (2) になる．

ポイントここまでのまとめ

熱量保存は $\sum Q_{i} = 0$ の形で立て，熱量計や温度計の熱容量も1つの項として入れる．落とすと比熱は小さめに出る．
潜熱は $Q = m L$ ．相が共存する間，温度は相変化の温度に留まる．
相変化を含む問題は，相変化点まで持ってくる熱と $m L$ を比べる．足りなければ温度はその点に留まり，変化した質量が決まる．最終温度を先に文字で置くと間違える．
一定電力 $P$ で加熱すると $P Δ t = C Δ T$ なので，加熱曲線の直線部分の傾きは $P / (m c)$ ，平らな部分の長さは $m L / P$ になる．熱の逃げは傾きの変化として現れる．