熱力学の法則

効率の勘定と例題

著者：柚木芹香

数学の道具

ポイント数学の道具：効率の分母の作り方と微小カルノーサイクル

効率の2つの書き方． サイクルでは $Δ U = 0$ なので $W = Q_{吸収} - Q_{放出}$ であり，

η = \frac{W}{Q_{吸収}} = 1 - \frac{Q_{放出}}{Q_{吸収}}

と書ける．可逆で2熱源なら $Q_{L} / Q_{H} = T_{L} / T_{H}$ なので $η = 1 - T_{L} / T_{H}$ になる．

分母には「吸収した熱だけ」を入れる． 多くの問題では，1つの過程が全体として吸熱か放熱かを見れば済む．しかし1本の経路の途中で吸熱から放熱へ変わることがあり，そのときは過程ごとの正味の熱を足しても分母にならない．経路に沿って

δ Q = d U + p d V

を体積の関数として書き，符号が変わる体積を求めて，正の部分だけを積分する．各辺の正味の熱のうち正のものだけを足す方法では，この分母を作れない．

熱源の温度が変わるとき． 熱容量が有限の物体を熱源に使うと，熱を取り出すうちに温度 $T$ が下がる．温度がほとんど変わらない微小な段階に注目し，そこで可逆な微小カルノーサイクルを回すと考える．物体から $- C d T$ の熱を取り出すと

d W = (1 - \frac{T_{L}}{T}) (- C d T)

で，温度について積分すれば全体の仕事が出る． $\int d T / T = \ln T$ の形が現れるのが特徴である．最初のカルノー効率を全熱量に掛けてはいけない．

練習． (1) $T_{H} = 900 K$ ， $T_{L} = 300 K$ のカルノー効率と，同じ2温度での冷凍機の成績係数の上限を求めよ．(2) 熱容量 $C$ （一定）の物体を $T_{0}$ から $T_{L}$ まで冷やす間に取り出せる最大の仕事を書け．

答え：(1) $1 - 1 / 3 = 2 / 3$ ， $300 / (900 - 300) = 0.5$ 　(2) $W = \int_{T_{L}}^{T_{0}} (1 - \frac{T_{L}}{T}) C d T = C (T_{0} - T_{L}) - C T_{L} \ln \frac{T_{0}}{T_{L}}$

例題

例題 1

オリジナル ★★☆☆☆

ある火力発電所のボイラーの蒸気は $8.0 \times 10^{2} K$ ，冷却に使う海水は $3.0 \times 10^{2} K$ である．

**［図：発電所のエネルギーの流れ］**
800 K のボイラーから熱 Q_H を受け取り，仕事 W を発電機へ渡し，残りの熱 Q_L を300 K の海へ捨てる．例題の実際の効率40％に合わせ，矢印の太さは Q_H:W:Q_L=5:2:3 とした．

この2温度の間のカルノー効率を求めよ．
実際の効率が 40 % で，電気出力が $1.0 \times 10^{9} W$ のとき，ボイラーから受け取る熱流率 $Q_{H} / Δ t$ と海へ捨てる熱流率 $Q_{L} / Δ t$ を求めよ．
海水の温度が夏に $3.1 \times 10^{2} K$ に上がると，カルノー効率は何ポイント下がるか．

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考え方 効率の上限は温度だけで決まる．(2) で問われているのは1秒あたりの量なので，エネルギー（J）ではなく熱流率（ $W = J s^{- 1}$ ）で答える．効率は同じ $Δ t$ での比なので，熱流率の比で計算してよい．

$1 - 300 / 800 = 0.625$ で，約 63 % である．
$Q_{H} / Δ t = (W / Δ t) / 0.40 = 2.5 \times 10^{9} W$ ， $Q_{L} / Δ t = 2.5 \times 10^{9} - 1.0 \times 10^{9} = 1.5 \times 10^{9} W$ ．1秒あたりでは，電気として出る $1.0 \times 10^{9} J$ より多い $1.5 \times 10^{9} J$ の熱を海に捨てている．
$1 - 310 / 800 = 0.6125$ なので約 1.3 ポイント下がる．低温側の温度が上がるだけで上限は落ちる．

例題 2

オリジナル ★★★☆☆

単原子分子の理想気体を， $p$ - $V$ 図上で $A (V_{0}, p_{0}) \to B (V_{0}, 3 p_{0}) \to C (3 V_{0}, p_{0}) \to A$ と準静的に1周させる．BからCは直線，CからAは等圧である．

**［図：三角形サイクルの吸熱・放熱と最高温度］**
A(V_0,p_0)からB(V_0,3p_0)，C(3V_0,p_0)を経てAへ戻るサイクル．BからCの直線ではV_0<V<2.5V_0で吸熱，2.5V_0<V<3V_0で放熱となる．温度Tが最大になる点はV=2V_0で，熱の符号が切り替わる点と異なる．三角形の面積2p_0V_0が1周の正味の仕事Wである．

BからCで，体積が $V = v V_{0}$ のときの圧力を求め，微小な熱 $δ Q$ を $v$ の式で表せ．
この辺で吸熱から放熱へ変わる体積を求め，吸収した熱の合計と，サイクルの効率を求めよ．
温度が最大になるのはどの点か．(2) の切り替わる点と一致するか．

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考え方 各辺の正味の熱だけを見ると分母を作れない．BからCでは $δ Q = d U + p d V$ を $v$ の関数として書き，符号の変わる所で積分を分ける．

直線は2点を通るので $p = p_{0} (4 - v)$ ． $U = \frac{3}{2} p V = \frac{3}{2} p_{0} V_{0} v (4 - v)$ だから $d U = \frac{3}{2} p_{0} V_{0} (4 - 2 v) d v$ ， $p d V = p_{0} V_{0} (4 - v) d v$ で

δ Q = p_{0} V_{0} (10 - 4 v) d v .

$10 - 4 v = 0$ より $v = \frac{5}{2}$ ． $v < \frac{5}{2}$ では吸熱， $v > \frac{5}{2}$ では放熱である．吸熱の分は $\int_{1}^{5 / 2} (10 - 4 v) d v = \frac{9}{2}$ 倍の $p_{0} V_{0}$ ，放熱の分の大きさは $\frac{1}{2} p_{0} V_{0}$ （差し引き $4 p_{0} V_{0}$ が，この辺の正味の熱）．AからBは定積で $Q = Δ U = 3 p_{0} V_{0}$ の吸熱，CからAは等圧で $Q = - 5 p_{0} V_{0}$ の放熱である．したがって

Q_{吸収} = 3 p_{0} V_{0} + \frac{9}{2} p_{0} V_{0} = \frac{15}{2} p_{0} V_{0} .

正味の仕事は三角形の面積 $2 p_{0} V_{0}$ なので $η = \frac{2}{15 / 2} = \frac{4}{15} \approx 0.27$ である．各辺の正味の熱のうち正のものだけを足して $3 + 4 = 7$ を分母にすると $2 / 7 \approx 0.29$ となり，効率を高く見積もってしまう．

$p V = p_{0} V_{0} v (4 - v)$ が最大になるのは $v = 2$ で， $T$ もそこで最大になる． $δ Q$ が0になる $v = \frac{5}{2}$ とは一致しない．温度が下がり始めても，膨張の仕事が内部エネルギーの減りより大きい間は，まだ熱を吸収している．

例題 3

オリジナル ★★★☆☆

熱容量 $C$ （一定）の物体が温度 $T_{0}$ にあり，温度 $T_{L}$ （ $T_{0} > T_{L}$ ）の広い海がある．この2つの間で可逆な機関を働かせ，物体の温度が $T_{L}$ になるまで仕事を取り出す．

**［図：冷える物体から仕事を取り出す］**
熱容量 C の物体は温度 T_0 から T_L まで冷える．温度 T の微小な段階で物体から熱 −C dT を機関へ渡し，海 T_L へ熱 dQ_L を捨て，外へ仕事 dW を出す．冷却中は dT<0 なので，−C dT は正である．

取り出せる仕事の総量 $W$ を求めよ．
$T_{0} = 4 T_{L}$ のとき $W$ を $C T_{L}$ で表し，物体の内部エネルギーの減少の何割が仕事になるか求めよ．
物体を海に直接つないで冷やした場合と比べよ．

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考え方 物体の温度 $T$ がほとんど変わらない微小な段階に分け，各段階で可逆なカルノーサイクルを回すと考える．

物体が $d T$ 冷えると熱 $- C d T > 0$ が出て，そのうち $(1 - T_{L} / T)$ の割合が仕事になる．積分して

W = \int_{T_{L}}^{T_{0}} (1 - \frac{T_{L}}{T}) C d T = C (T_{0} - T_{L}) - C T_{L} \ln \frac{T_{0}}{T_{L}} .

$W = 3 C T_{L} - C T_{L} \ln 4 \approx 1.6 C T_{L}$ ．内部エネルギーの減少は $3 C T_{L}$ なので，仕事になるのは約 54 % である．温度が下がるにつれ効率が落ちるので，最初のカルノー効率 $1 - 1 / 4 = 0.75$ よりだいぶ小さい．
直接つなげば仕事は0で， $3 C T_{L}$ の熱がすべて海に入る．同じ始状態と終状態なのに，取り出せた仕事がまるごと失われる．

ポイントここまでのまとめ

$η = W / Q_{吸収} = 1 - Q_{放出} / Q_{吸収}$ ．可逆で2熱源なら $1 - T_{L} / T_{H}$ で，低温側が上がるだけでも効率は落ちる．
1本の経路の途中で吸熱と放熱が入れ替わることがある． $δ Q = d U + p d V$ の符号が変わる点を探し，正の部分だけを分母にする．温度の最大点とは一致しない．
1秒あたりを問われたら，熱流率・出力（単位 W）で答え，エネルギー（J）と混ぜない．
熱源の温度が変わるときは，微小な可逆サイクルを積み上げて積分する．直接つないで冷やすと，取り出せたはずの仕事が全部失われる．