サイクルの効率とエントロピーの収支 | 問いから始める物理

総合演習 4

東京大 1982 前期（改題） ★★★★☆

排水の途中で熱の向きが変わるポンプ

断面積 $A$ の一様な鉛直筒に，摩擦のない軽いピストンで単原子理想気体を閉じ込めます．底からのピストン高を $z$ ，注水口・排水口の高さを $2 ℓ, 5 ℓ$ とします．水の密度を $ρ$ ，重力加速度を $g$ ，水面上の圧力を $p_{e} = 2 ρ g ℓ$ とします．注水口は水面高 $2 ℓ$ の大きな水槽につながっています．排水口から出た水は，高さ $4 ℓ$ の別の水槽へ落ち，落下の運動エネルギーはそこで熱になります．水は非圧縮で，蒸発と水・気体間の熱交換を無視します．

初めは $z = ℓ$ ，水深 $ℓ$ ，気体温度 $T_{0}$ です（I）．注水口を閉じ，水の量を保ってゆっくりピストンを上げ，水面が排水口に達した状態をIIとします．続いて水面を排水口の高さに保って排水し，ピストンが $5 ℓ$ に達して水がなくなった状態をIIIとします．両口を閉じて $z = 2 ℓ$ まで下げた状態がIVです．注水口を開き，水面を $2 ℓ$ に保ちながらピストンを $ℓ$ まで下げ，Iへ戻します．必要な向きの熱を授受して準静的に進め，気体は体積仕事だけをします．筒とピストンの熱容量，管路の圧力損失は無視します．

液柱のつり合いから，I〜IVの気体の圧力と温度を求めてください．
各区間の $p$ と $V$ の関係を求め， $p$ - $V$ 図を描いてください．一巡で気体が外へする仕事 $W$ を求めてください．
吸熱だけを足して $Q_{+}$ と効率 $η = W / Q_{+}$ を求めてください．水槽間の水の位置エネルギー増加を有効仕事 $W_{u}$ とし，装置の効率 $η_{u} = W_{u} / Q_{+}$ と比較してください．さらに受水面を排水口まで上げた理想極限で，両効率を比較してください．

**［図：水を持ち上げて排出する筒の状態I〜IV］**
状態I〜IVのピストンと液柱を並べる．注水口の高さは2ℓ，排水口は5ℓで，状態IとIIには同量の水があり，IIIとIVには水がない．下の水路図は共通の高さ尺度で水面2ℓの注水槽，受水面4ℓ，排水口5ℓを示し，排水後の落下を描く．

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考え方

水深が圧力を，状態方程式が温度を決める．比熱一定の単原子理想気体として $U = 3 p V / 2$ を使い，熱の符号を途中まで調べる．

水深 $d$ なら $p A = (p_{e} + ρ g d) A$ ． $q = ρ g ℓ$ とおくと，IとIIは水深 $ℓ$ ，IIIとIVは水なしなので，圧力は順に $3 q, 3 q, 2 q, 2 q$ である．水の量が変わらないI→IIでは水面とピストンが同じ距離だけ上がるため，IIの $z = 4 ℓ$ ．体積は順に $A ℓ, 4 A ℓ, 5 A ℓ, 2 A ℓ$ となる．物質量は一定で $ν R T_{0} = 3 q A ℓ$ だから

T_{I} = T_{0}, T_{I I} = 4 T_{0}, T_{I I I} = \frac{10}{3} T_{0}, T_{I V} = \frac{4}{3} T_{0} .

$y = z / ℓ = V / (A ℓ)$ とすると，各経路は

\begin{array}{ccc} 区間 & y の変化 & p / q \\ I \to I I & 1 \to 4 & 3 \\ I I \to I I I & 4 \to 5 & 7 - y \\ I I I \to I V & 5 \to 2 & 2 \\ I V \to I & 2 \to 1 & 4 - y \end{array}

である．排水中の水深は $(5 - y) ℓ$ ，注水中は $(2 - y) ℓ$ ． $p$ - $V$ 図は2本の斜辺と2本の水平辺からなる時計回りの平行四辺形になる．各区間の仕事を $q A ℓ$ で割ると $9, 5 / 2, - 6, - 5 / 2$ なので，和は

W = 3 q A ℓ = 3 ρ g A ℓ^{2} .

一巡で移る水は $ρ A ℓ$ で，注排水口の高さの差 $3 ℓ$ に対応する仕事と一致する．

I→IIは定圧膨張なので $Q = ν C_{p} (4 T_{0} - T_{0}) = 45 q A ℓ / 2$ を吸収する．ここでは $C_{V} = 3 R / 2, C_{p} = 5 R / 2$ を一定とした．排水中は $U = (3 / 2) q A ℓ y (7 - y)$ より

δ Q = q A ℓ (\frac{35}{2} - 4 y) d y .

$y = 35 / 8$ で吸熱から放熱へ変わる．吸熱量は $y = 4$ から $35 / 8$ までの積分で $9 q A ℓ / 32$ ，放熱量の大きさは残りの積分で $25 q A ℓ / 32$ である．正味熱 $- q A ℓ / 2$ が負でも，吸熱部分は捨てない．III→IVは $- 15 q A ℓ$ の放熱．IV→Iでは $δ Q = q A ℓ (10 - 4 y) d y$ で， $1 \leq y \leq 2$ では係数は正だが進行方向の $d y < 0$ により全区間放熱し，熱量は $- 4 q A ℓ$ となる．従って

Q_{+} = (\frac{45}{2} + \frac{9}{32}) q A ℓ = \frac{729}{32} q A ℓ, η = \frac{32}{243} ≃ 0.13 .

放出熱の合計は $633 q A ℓ / 32$ で，吸収との差が $3 q A ℓ = W$ になる．

両水槽の圧力が等しく流れは初終に静止するので，有効仕事は $W_{u} = ρ A ℓ g (4 ℓ - 2 ℓ) = 2 q A ℓ$ ．装置の効率は $η_{u} = 64 / 729 ≃ 0.088$ である．差 $W - W_{u} = q A ℓ$ は排水後の $ℓ$ の落下で散逸する．受水面を $5 ℓ$ に近づけ，流れの散逸も0に近づける理想極限なら $W_{u} \to W$ ，両効率は一致する．

**［図：ポンプのサイクルと仕事の分配］**
解答図．p/qとV/(Aℓ)で描いたサイクルはI=(1，3)，II=(4，3)，III=(5，2)，IV=(2，2)を時計回りにたどる．排水辺のV=35Aℓ/8までを吸熱の青で，その後と圧縮辺を放熱の赤で示す．一巡の仕事3qAℓは，有効仕事2qAℓと排水後の落下での散逸qAℓに分かれる．

総合演習 5

オリジナル ★★★★★

混合の仕事を取り逃がすと何が残るか

断熱した剛体容器の左右の室は，各 $V_{0}$ の体積です．左に気体Aを $ν mol$ ，温度 $2 T_{0}$ ，右に気体Bを同じ物質量，温度 $T_{0}$ で封入します．A，Bは半透膜で選別でき，反応しない異種の単原子理想気体です．初圧は $2 p_{0}, p_{0}$ ，ただし $p_{0} = ν R T_{0} / V_{0}$ です．各成分のモル比熱は全過程で $C_{V} = 3 R / 2$ と近似します．全体積は $2 V_{0}$ のまま，内部の膜と可逆機関で軸仕事を外のおもりへ渡せます．膜・機関の初終の内部エネルギー・エントロピー差は0とします．

仕事を取り出さずに仕切りを抜いて直接混ぜた場合の終温 $T_{d}$ ，分圧，全圧，気体全体のエントロピー増加 $Δ S_{d}$ を求めてください．
同じ初状態から膜と可逆機関で断熱的に混ぜ，両成分が共通温度で全体積を占めるまで最大仕事を取り出します．全エントロピー一定から終温 $T_{r}$ と最大仕事 $W_{max}$ を求め，上限を実現する操作も説明してください．
直接混合で取り逃がした仕事と，終状態に残る内部エネルギーの差を比較してください．さらに理想熱源 $T_{d}$ を使い，両方式を同じ混合状態 $(T_{d}, 2 V_{0})$ へそろえる場合の最大仕事を，自由エネルギーの言葉で表してください．断熱の場合の $W_{max}$ をそのまま $T_{d} Δ S_{d}$ と置けない理由も示してください．

**［図：断熱剛体容器の直接混合と可逆混合］**
初状態の左室は気体Aがν mol，V₀，2T₀，2p₀，右室は気体Bが同じ物質量と体積でT₀，p₀である．固定された断熱外壁の中で，仕切りを抜く直接混合と，半透膜・可逆機関から軸仕事を外のおもりへ渡す経路を並べる．終温はそれぞれ未知のT_dとT_rで示す．

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考え方

第15章の状態方程式・分圧と，第16章のエントロピーを使う．軸仕事を許す断熱全系は孤立系ではない．可逆混合はエントロピーを，直接混合は内部エネルギーを保つ．

直接混合では熱・仕事の授受がなく，初めの内部エネルギーは $U_{i} = (9 / 2) ν R T_{0}$ ．終状態では $U_{d} = 3 ν R T_{d}$ なので $T_{d} = 3 T_{0} / 2$ である．各成分が $2 V_{0}$ に広がるため，分圧はともに $3 p_{0} / 4$ ，全圧は $3 p_{0} / 2$ ．異種の理想気体では各成分のエントロピーを足し，成分ごとに可逆な温度変化と膨張を計算用の経路に選ぶと

Δ S_{d} = ν C_{V} \ln \frac{T_{d}}{2 T_{0}} + ν C_{V} \ln \frac{T_{d}}{T_{0}} + 2 ν R \ln 2 = ν R [\frac{3}{2} \ln \frac{9}{8} + 2 \ln 2] > 0.

実際の $Q = 0$ を温度で割っても求められない．流れの散逸，温度差による熱移動，拡散を含む生成量が $Δ S_{d}$ である．

終温 $T$ でのエントロピー差は (1) の $T_{d}$ を $T$ に替えればよい．断熱で $Δ S \geq 0$ ．これは $T$ とともに増え，仕事 $W = U_{i} - 3 ν R T$ は減るので， $Δ S = 0$ が最大仕事を与える．

\frac{3}{2} \ln \frac{T_{r}^{2}}{2 T_{0}^{2}} + 2 \ln 2 = 0, T_{r} = 2^{- 1 / 6} T_{0}, W_{max} = 3 ν R T_{0} (\frac{3}{2} - 2^{- 1 / 6}) .

終温は約 $0.89 T_{0}$ ，終圧は $2^{- 1 / 6} p_{0}$ ．膨張も仕事に変えるので，初めの低温側より冷たくなってよい．

実現方法は2段階に分けられる．まず仕切りを固定したまま，高温室と低温室の間で微小な可逆サイクルを繰り返す．両室のエントロピーの和が一定なので， $T_{g} = \sqrt{2} T_{0}$ になる．次に気体を選別する半透膜を用い，各成分を体積 $V_{0}$ から $2 V_{0}$ まで可逆断熱膨張させる．膜は相手の成分を通すため，2成分の占める体積は重なってよく，外壁を動かす必要はない．比熱一定で $T V^{2 / 3}$ 一定より $T_{r} = T_{g} 2^{- 2 / 3}$ ．膜が反射する成分の分圧と負荷をつり合わせ，熱漏れ・摩擦・有限差圧を0に近づけ，内部平衡を保てば上限へ近づく．

直接混合の仕事は0で，可逆混合との差は $W_{max} = U_{d} - U_{r} = 3 ν R (T_{d} - T_{r})$ ．取り逃がした仕事は直接混合の内部エネルギーに残る．両終状態の温度・エントロピーが違うため，これを $T_{d} Δ S_{d}$ と置くことはできない．

環境熱源を $T_{d}$ に固定した別の比較では， $Φ = U - T_{d} S$ を使う．初めの左右は異温なので1つの温度をもつ平衡の $F$ とは呼べないが， $U_{i} - T_{d} S_{i}$ は定義できる．同じ最終混合状態dまでの可逆な最大仕事は，系と熱源の全エントロピー一定から

W_{環境, max} = Φ_{i} - Φ_{d} = T_{d} Δ S_{d} .

可逆断熱混合後のrからdへ可逆機関で温めると，さらに

Φ_{r} - Φ_{d} = T_{d} Δ S_{d} - W_{max} > 0

の仕事が得られる．正であることは $Δ S_{d} = 3 ν R \ln (T_{d} / T_{r})$ と $\ln x > 1 - 1 / x (x > 1)$ から分かる． $Φ_{r} = U_{r} - T_{d} S_{r}$ は，系自身の温度で定義する $F_{r} = U_{r} - T_{r} S_{r}$ とは違う．同じ終状態へそろえた環境一定の比較で，失われる仕事が $T_{d} Δ S_{d}$ となる．

総合演習 6

オリジナル ★★★★★

風の出力を2つの道から見積もる（発展）

地球を半径 $r_{E} = 6.4 \times 10^{6} m$ の球とし，太陽光に垂直な面への入射を $I_{⊙} = 1.3 \times 10^{3} W m^{- 2}$ ，反射される割合を $a = 0.30$ とします．地球と大気の収支は長時間平均で定常，宇宙からの放射は無視し，赤外線出力は黒体で近似します． $σ_{SB} = 5.7 \times 10^{- 8} W m^{- 2} K^{- 4}$ とします．

大気循環を高温側 $T_{H} = 3.0 \times 10^{2} K$ ，低温側 $T_{L} = 2.5 \times 10^{2} K$ の間の熱機関とみなします．風の仕事は最終的に地球内で熱へ戻ります．風の模型として，有効質量 $M_{w} = 4.0 \times 10^{18} kg$ ，質量で重みづけした二乗平均平方根の速さ $u = 1.2 \times 10^{1} m s^{- 1}$ ，運動エネルギーの散逸時間 $τ = 3.0 \times 10^{5} s$ を代表値として与えます．

吸収する熱流率 $P_{a}$ ，全球面積あたりの熱流率，有効放射温度を求めてください．
吸収全量がこの高温側から低温側へ運ばれるという仮定で，風を生む仕事率の上限 $P_{max}$ と地表面積 $1.0 {km}^{2}$ あたりの上限を求めてください．
風の運動エネルギーと散逸時間から生成仕事率 $P_{w}$ を見積もり，上限との比を求めてください．さらに吸収熱の割合 $f$ だけがこの循環を通る場合，風の維持に必要な $f$ の下限と，比に強く効く不確かさを説明してください．数値は有効数字2桁にしてください．

**［図：地球の放射面積と大気循環のエネルギー経路］**
太陽光を受ける断面積πr_E²と，赤外線を出す全球面積4πr_E²を区別する．吸収した熱が高温側T_Hと低温側T_Lの間の熱機関を通り，仕事として風の運動エネルギーを生む経路を示す．風は散逸時間τで地球内の熱に戻る．

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考え方

第18章の放射，第16章のカルノー効率，第2章の見積りを組み合わせる．定常では風の生成と散逸がつり合う．

受光面積は $π r_{E}^{2}$ ，放射面積は $4 π r_{E}^{2}$ なので

P_{a} = (1 - a) I_{⊙} π r_{E}^{2} ≃ 1.2 \times 10^{17} W, j = \frac{(1 - a) I_{⊙}}{4} ≃ 2.3 \times 10^{2} W m^{- 2} .

放射平衡の $j = σ_{SB} T_{放射}^{4}$ より， $T_{放射} ≃ 2.5 \times 10^{2} K$ ．これは地表温度ではなく，循環の $T_{L}$ と同一とも限らない．風は地球内で熱へ戻るので，赤外線出力は吸収全量に等しい．

$η_{C} = 1 - T_{L} / T_{H} = 1 / 6 ≃ 0.17$ より， $P_{max} = η_{C} P_{a} ≃ 2.0 \times 10^{16} W$ ．全球で割った上限は $η_{C} j ≃ 38 W m^{- 2}$ ， $1.0 {km}^{2} = 1.0 \times 10^{6} m^{2}$ あたり $3.8 \times 10^{7} W$ である．大気の2温度間の上限である．高温側を上げても低温側を下げても上がる．
定義された速さを使い， $K = M_{w} u^{2} / 2 ≃ 2.9 \times 10^{20} J$ ．定常の生成仕事率は

P_{w} \sim \frac{K}{τ} ≃ 9.6 \times 10^{14} W, \frac{P_{w}}{P_{max}} ≃ 0.049 .

面積あたりでは $1.9 W m^{- 2}$ ， $1.0 {km}^{2}$ あたり $1.9 \times 10^{6} W$ ．吸収放射に対する比は0.0082である．上限との差には不可逆性と，循環を通らない熱も含む．0.049は機関自体の効率ではない．

循環に入る熱が $f P_{a}$ なら $P_{w} \leq η_{C} f P_{a}$ より $f \geq 0.049$ ．下限では可逆上限で働く必要があり，不可逆性があればさらに多くの熱が必要になる． $τ$ はエネルギーの散逸時間で，風速の減衰時間と取り違えると係数が変わる．

比は $M_{w} u^{2} / (2 τ η_{C} P_{a})$ に比例する．同じ相対誤差なら速さは2倍，質量と時間尺度は1倍で効く．温度差が小さい場合は $η_{C} = (T_{H} - T_{L}) / T_{H}$ の相対誤差も大きくなる．2桁は代表値の計算精度で，全球の風の精度ではない．吸収・上限・風は順に $10^{17}, 10^{16}, 10^{15} W$ の桁で，風の維持は上限と矛盾しない．