熱力学の総合演習

装置の拘束から過程を決める

著者：柚木芹香

シリンダーとピストン，ばね，ストッパー，液柱といった装置の拘束を読み，気体がどの過程をたどるのかを自分で決めてから収支を立てます．第15章の状態方程式と分子が壁に及ぼす圧力，第16章の第一法則と定積・定圧・等温・断熱の区別を，第4章の力のつり合い，第6章のエネルギー，第7章の振動と組み合わせてください．経路さえ決まれば $p$ - $V$ 図が描け，仕事は面積，熱は第一法則から出ます．どの区間で吸熱し，どこで放熱へ変わるのかまで調べておくと，次の節の効率の計算がそのまま続きます．

総合演習 1

オリジナル ★★★★☆

圧力を下げるばね装置の経路熱容量

真空中の水平シリンダーに理想気体を物質量 $ν$ だけ封じます．断面積 $A$ のピストンの外を，ばね定数 $k$ ，初圧縮量 $e_{0}$ のばねで押さえます．他端の支持台は独立した外部駆動で，ピストンの外向き変位 $x$ に対し同じ向きに $2 x$ 動きます．初状態は $V_{0}, p_{0}, T_{0}$ です．ばねが縮んだ範囲で熱を調節し，ゆっくり膨張させます．

気体は一様で，比熱・ $γ > 1$ は一定，仕事は体積仕事だけです．摩擦・慣性・ばね質量を無視します．位置制御でずれを抑え，準静的極限では補助力とその仕事が0に近づくとします．

つり合いから $p = p_{0} - α (V - V_{0})$ を導き， $p_{0}, α$ を装置の量で表してください．支持台固定との違いも述べてください．
始点からの符号付き熱量を $Q$ とし，モル熱容量 $C = (\frac{d Q}{d T}) / ν$ を $V$ で表してください．負値になる理由も説明してください．
温度最大の体積 $V_{T}$ と吸熱から放熱に変わる体積 $V_{Q}$ を求め， $p$ - $V$ 図で位置と傾きを比べてください． $p_{0} = 3 α V_{0}, γ = 5 / 3$ として $V_{0}$ から $3 V_{0}$ までの $C$ の符号を分類し， $V_{T}$ での発散と有限熱量の関係，固定温度での平衡の安定性も調べてください．

**［図：支持台を動かす圧縮ばねの装置］**
初状態と変位後のシリンダーを上下に示す．ピストンが右へx動く間に支持台は右へ2x動き，ばねの長さが増して圧縮が小さくなる．外側は真空で，ピストン断面積はAである．

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考え方

比熱一定の理想気体を準静的に扱い，外力と状態方程式で温度，第一法則で熱を求める．温度変化0と熱の出入り0は別条件である．

支持台とピストンの間隔は $x$ 増すので，圧縮量は $e = e_{0} - x$ となる．ばねはピストンを内向きに $k (e_{0} - x)$ で押す．外側は真空だから

p A = k (e_{0} - x), V = V_{0} + A x, p_{0} = \frac{k e_{0}}{A}, α = \frac{k}{A^{2}} .

支持台固定なら圧縮量は $e_{0} + x$ で正の傾きとなる．今回はばねのエネルギーが減り，駆動部とも仕事を交換するので，気体の仕事をばねだけのエネルギー変化と等置できない．

$b = p_{0} + α V_{0}$ とおくと， $p = b - α V$ である．状態方程式と第一法則は

T = \frac{b V - α V^{2}}{ν R}, \frac{d T}{d V} = \frac{b - 2 α V}{ν R}, \frac{d Q}{d V} = ν C_{V} \frac{d T}{d V} + p = \frac{C_{V}}{R} (b - 2 α V) + b - α V .

これより， $b - 2 α V \neq 0$ の点で

C (V) = C_{V} + R \frac{b - α V}{b - 2 α V} = \frac{R}{γ - 1} \frac{γ b - (γ + 1) α V}{b - 2 α V} .

膨張仕事が内部エネルギーの減少量を上回れば $δ Q = d U + p d V > 0$ でも $d T < 0$ ，従って $C < 0$ ．物質の $C_{V}$ は正のままである．

温度は上に凸の二次式で，最大は

V_{T} = \frac{b}{2 α}, T_{max} = \frac{b^{2}}{4 α ν R} .

$\frac{d Q}{d V} = 0$ より $V_{Q} = γ b / [(γ + 1) α]$ ． $γ > 1$ なら $V_{T} < V_{Q} < b / α$ ．経路の傾き $- α$ は， $V_{T}$ で等温線の $- p / V$ に， $V_{Q}$ で可逆断熱線の $- γ p / V$ に一致する．後者でも直線全体が断熱になるわけではない．

指定値では $V_{T} = 2 V_{0}, V_{Q} = 5 V_{0} / 2, T_{max} = 4 T_{0} / 3$ ． $y = V / V_{0}$ とすると， $1 \leq y < 2$ は昇温・吸熱で $C > 0$ ， $2 < y < 5 / 2$ は冷却・吸熱で $C < 0$ ， $5 / 2 < y \leq 3$ は冷却・放熱で $C > 0$ ．切替点では $C = 0$ ，最大点では左から正，右から負に発散する．

$\frac{d Q}{d V}$ は有限で， $V_{1}$ から $V_{2}$ の熱量は

Q_{12} = ν C_{V} (T_{2} - T_{1}) + b (V_{2} - V_{1}) - \frac{α}{2} (V_{2}^{2} - V_{1}^{2})

となり有限である．同温に二つの体積が対応し， $Q (T)$ は枝を分ける．温度が経路の座標として使えなくなるため $C$ が発散する．

固定温度で，支持台が変位比を保つ微小変位への外向き合力の傾きは $A^{2} (α - p / V)$ ． $V < V_{T}$ では復元力， $V > V_{T}$ では不安定となる．最大点の温度では $F = A α (V - V_{T})^{2} / V \geq 0$ で外向きとなり，安定ではない．後半には補助制御が要る．

**［図：降圧経路の温度最大点と吸放熱の切替］**
解答図．p₀=3αV₀，γ=5/3の場合の直線p/(αV₀)=4−V/V₀を描く．初点，温度最大点V_T=2V₀，熱の切替点V_Q=5V₀/2，終点3V₀を示す．青い区間は吸熱，赤い区間は放熱で，温度最大点には等温線，熱の切替点には可逆断熱線が接する．

総合演習 2

オリジナル ★★★★☆

液柱の振動から気体の熱交換を見分ける

鉛直なU字管（断面積 $A$ 一定）に，密度 $ρ$ ，全長 $L$ の非圧縮液体を入れます．左腕の上端を閉じて理想気体を封じ，右腕は大気圧 $p_{a}$ に開きます．平衡では右液面が $h$ 高く，気体は $V_{0} = A ℓ, T_{0}$ で壁と同温です．粘性・毛管現象・蒸発・溶解・気体の重さを無視します．液体の速さは全断面で等しく，気体圧は一様とします．

各熱的条件を保って平衡から左液面を下向きに $x$ ずらし放します． $C_{V}, γ$ は一定です．壁は温度 $T_{0}$ の熱源で，固定体積での微小温度差が $e^{- t / τ_{h}}$ で減る時間を熱交換時間とします．液体は両腕に残り， $1 ≫ | x | / ℓ$ を満たします．

平衡時の $p_{*}$ と物質量，変位後の気体体積と液面差を求めてください．
等温と可逆断熱の運動方程式，周期を求め比べてください． $p_{a} = 1.0 \times 10^{5} Pa, ρ = 1.0 \times 10^{3} kg m^{- 3}, L = 0.80 m, h = 0.10 m, ℓ = 0.20 m, g = 9.8 m s^{- 2}, γ = 5 / 3$ で数値も求めてください．
熱交換時間が $1.0 \times 10^{- 3} s$ と $10 s$ の場合に，近似を周期と照合してください．中間では周期の平均を使えるか，また液柱の重力が支配すると周期で過程を見分けにくい理由も説明してください．

**［図：U字管の平衡と両液面の変位］**
左腕の上端を閉じたU字管を平衡と変位後で並べる．平衡時の左の気体長はℓで，右液面は左液面よりh高い．変位後は左液面が下へx，右液面が上へ同じx動く．右腕は大気圧p_aに開いている．

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考え方

液体全体の慣性と，重力・気体圧の復元力を使う．内部平衡化と熱交換の時間を分けて近似を選ぶ．

同じ高さの液体圧を等置して $p_{*} = p_{a} + ρ g h$ ，従って $ν = p_{*} A ℓ / (R T_{0})$ ．体積保存より右液面も $x$ 上がり，気体体積は $A (ℓ + x)$ ，液面差は $h + 2 x$ となる．
等温なら $p_{g} = p_{*} ℓ / (ℓ + x)$ ，可逆断熱なら $p_{g} = p_{*} [ℓ / (ℓ + x)]^{γ}$ である．等温を $χ = 1$ ，断熱を $χ = γ$ とまとめ，1次まで展開すると $p_{g} ≃ p_{*} (1 - χ x / ℓ)$ ．液体の運動エネルギーは $ρ A L (\frac{d x}{d t})^{2} / 2$ であり，移動方向の圧力の一般化された力は $A [p_{g} - p_{a} - ρ g (h + 2 x)]$ となる．従って

ρ A L \frac{d^{2} x}{d t^{2}} = - A (2 ρ g + \frac{χ p_{*}}{ℓ}) x, T_{χ} = 2 π \sqrt{\frac{ρ L}{2 ρ g + χ p_{*} / ℓ}} .

慣性には底部も含める． $A$ は力と慣性で消え，平方根の中は時間の2乗である．

周期の比は

\frac{T_{γ}}{T_{1}} = \sqrt{\frac{2 ρ g + p_{*} / ℓ}{2 ρ g + γ p_{*} / ℓ}} < 1.

$p_{*} = 1.0098 \times 10^{5} Pa$ を代入すると，周期は等温で $0.25 s$ ，断熱で $0.19 s$ ，比は約0.78．断熱では圧縮で温まり膨張で冷えるため，圧力変化が大きく復元力が強い．

$ω = 2 π / T$ として， $1 ≫ ω τ_{h}$ なら壁とほぼ同温を保つ等温近似， $ω τ_{h} ≫ 1$ なら一周期の熱交換を無視する断熱近似である．短い時間では $ω_{1} τ_{h} \approx 0.026$ ，長い時間では $ω_{γ} τ_{h} \approx 3.3 \times 10^{2}$ となり，両近似は自己整合的である．

中間では圧力と変位に位相差が生じ減衰する．第一法則と運動方程式の連立が必要で，周期の平均には根拠がない．可逆断熱には内部平衡が振動より速く整い，散逸も小さい条件が要る．圧力一様の仮定が破れる速さでは使えない．

$r = p_{*} / (2 ρ g ℓ)$ とおくと，周期の比は $\sqrt{(1 + r) / (1 + γ r)}$ ．気体の復元力が支配する $r ≫ 1$ では $1 / \sqrt{γ}$ に近づくが，重力が支配する $1 ≫ r$ では $1 - (γ - 1) r / 2$ に近づく．後者では熱的な条件を変えても周期の差が小さく，測定誤差から過程を判別しにくい．

総合演習 3

オリジナル ★★★★★

噴射するほど冷える気体推進装置

外力を受けない宇宙機に，容積 $V_{c}$ の剛体貯槽と後方向きノズルを載せます．装置を含む乾燥質量は $M_{d}$ です．モル質量 $μ$ ，モル比熱 $C_{V}, C_{p}$ 一定の理想気体を初状態 $m_{0}, T_{0}$ で入れます．断熱して弁から噴射します．残留質量・温度を $m, T$ ，機体に対する噴射速度の大きさを $u$ とします．

流出は内部平衡化より十分遅いとします．平均自由行程 $λ$ は流路幅より十分小さく，連続流として扱います．貯槽内流速・加速による圧力差，ノズル内のエネルギー蓄積と慣性力の仕事を無視します．ノズルの膨張は可逆断熱で，出口圧力と圧力推力を無視する理想極限を考えます．

押し込む仕事を含むエネルギー保存から $u (T)$ を導き，貯槽の $T (m), p (m)$ を求めてください．体積一定でも冷える理由も説明してください．
運動量保存から，残留質量 $m_{f}$ までの速度増分を定積分で表してください． $γ = 5 / 3, μ = 0.040 kg {mol}^{- 1}, T_{0} = 360 K, m_{0} = 2.0 kg, M_{d} = 1.0 kg, m_{f} = m_{0} / 8, R = 8.31 J {mol}^{- 1} K^{- 1}$ で終温度と速度増分を数値積分で求めてください．
同じ初状態から貯槽だけを $T_{0}$ に保ち，断熱ノズルで同じ $m_{f}$ まで噴射する場合の速度増分と補給熱を比べてください．全量噴射で速度が有限か， $M_{d} > 0$ と形式的な $M_{d} = 0$ で調べ，極限の適用範囲も述べてください．

**［図：弁と断熱ノズルによる後方噴射］**
機体内の剛体貯槽から弁を通って後方向きノズルへ気体が流れる．貯槽の残留質量m，容積V_c，温度T，圧力pと，装置を含む乾燥質量M_dを示す．機体速度vは右向き，機体に対する相対噴射速度uは左向きで，流出微小質量は−dmである．

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考え方

貯槽は開放系である．流出するエネルギーを数え，噴射速度の温度依存を可変質量の運動方程式へ入れる．

1 molあたり，内部エネルギー $C_{V} T$ と押し込む仕事 $p V / ν = R T$ の和は $C_{p} T$ ．出口温度 $T_{e}$ と出口の押し出す仕事も含めて

C_{p} T = C_{p} T_{e} + \frac{1}{2} μ u^{2} .

可逆断熱の式より $T_{e} / T = (p_{e} / p)^{(γ - 1) / γ}$ なので，圧力比を0に近づける理想極限で

u (T) = \sqrt{\frac{2 C_{p} T}{μ}} = \sqrt{\frac{2 γ R T}{μ (γ - 1)}} .

流れのエネルギーがそろった運動へ変わる速さである．出口温度0まで比熱一定を延ばす形式的上限で，有限出口圧力なら $T_{e}$ を残す．分子が衝突せず小孔から出る模型とは異なる．

貯槽の物質量は $ν = m / μ$ ． $d ν < 0$ として，出ていくエネルギーを数えると

d (ν C_{V} T) = C_{p} T d ν, \frac{d T}{T} = (γ - 1) \frac{d ν}{ν} .

初圧は $p_{0} = m_{0} R T_{0} / (μ V_{c})$ ．従って $T = T_{0} (m / m_{0})^{γ - 1}, p = p_{0} (m / m_{0})^{γ}$ ．流出気体が $C_{V} T$ より大きな $C_{p} T$ を持ち去るため冷える．物質量一定の $p V^{γ}$ 一定を貯槽へ適用した結果ではない．

加速する総質量は $M_{d} + m$ ．流出質量 $- d m$ の速度は，慣性系で $v - u$ だから，1次の運動量収支は $(M_{d} + m) d v = - u d m$ となる． $u_{0} = u (T_{0}), q = m / m_{0}, d = M_{d} / m_{0}, β = (γ - 1) / 2$ とおけば

Δ v_{a} = u_{0} \int_{m_{f} / m_{0}}^{1} \frac{q^{β}}{d + q} d q .

$u = u_{0} q^{β}$ と減るので，初期値を対数公式に入れる方法は使えない．

数値では $β = 1 / 3, d = 1 / 2, T_{f} = 90 K, u_{0} = \sqrt{5 R T_{0} / μ} \approx 6.1 \times 10^{2} m s^{- 1}$ ． $z = q^{1 / 3}$ と置けば積分は $\int_{1 / 2}^{1} 3 z^{3} / (1 / 2 + z^{3}) d z \approx 0.6731$ ．従って $Δ v_{a} \approx 4.1 \times 10^{2} m s^{- 1}$ である．

等温なら $u = u_{0}$ 一定なので

Δ v_{i} = u_{0} \ln \frac{M_{d} + m_{0}}{M_{d} + m_{f}} .

今回は質量比が $3.0 / 1.25 = 2.4$ で， $Δ v_{i} \approx 5.4 \times 10^{2} m s^{- 1}$ ． $0 < q < 1$ で $q^{β} < 1$ より，同じ消費質量では断熱の速度増分が小さい．等温貯槽の収支は $d (ν C_{V} T_{0}) = δ Q + C_{p} T_{0} d ν$ なので

Q_{i} = R T_{0} \frac{m_{0} - m_{f}}{μ} \approx 1.3 \times 10^{5} J .

補給熱が一定噴射速度を支え，使えるエネルギーを増す．

$M_{d} > 0$ なら両方式とも有限である．断熱積分の被積分関数は0に近づき，等温も $u_{0} \ln [(M_{d} + m_{0}) / M_{d}]$ に止まる． $M_{d} = 0$ では断熱は $Δ v_{a} = u_{0} [1 - (m_{f} / m_{0})^{β}] / β$ ，極限は $2 u_{0} / (γ - 1)$ ．等温は $u_{0} \ln (m_{0} / m_{f})$ で発散する．噴射速度の低下が発散を抑える．実機には乾燥質量があり，低圧では自由行程が流路幅に近づき連続体近似が破れる．比熱や相の変化，有限出口圧力もあるため，全量噴射は形式的な極限である．