東大の熱の過去問を発展させる（1） | 問いから始める物理

総合演習 13

東京大 2017 前期（改題） ★★★★☆

弁を開くと，ばねは仕事を返す

水平シリンダーのピストンの断面積は $A$ ，外圧は $p_{e}$ です．外向き変位 $x$ に対し気体体積は $A (a + x)$ ，ばねの内向きの力は $k x$ で， $k a = p_{e} A$ とします．初め $x = a$ で静止し，単原子理想気体 $ν$ mol が温度 $T_{a}$ ，圧力 $2 p_{e}$ にあります．弁の先には体積 $A a$ の真空の固定容器があります．管・弁の体積と装置の熱容量は無視します．

$x = a$ に固定して断熱し，弁を開きます．平衡後の温度・圧力・仕事，解除直後の運動方向を求めてください．
弁を開いたまま理想熱源 $T_{a}$ に接し，固定を解除します．摩擦なし，散逸は気体内部だけとします．再平衡の $q = x_{f} / a$ ，仕事 $W$ ，吸熱 $Q$ を求めてください．
同じ初終状態を可逆等温経路で結ぶ仕事 $W_{r}$ と，実際の全エントロピー生成 $S_{gen}$ の関係を求めてください．

**［図：ばね付きピストンと真空の固定容器］**
自然長に対応するピストン位置はx=0，初期位置はx=aである．左の固定端から伸びたばねはピストンを内向きに引く．ピストンは固定され，弁の先の体積Aaの固定容器は真空である．

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考え方

弁を開く段階では外の境界が動かず，解除後はばねと大気が気体を押し戻す．非準静的な途中の気体圧力を積分せず，外界のエネルギー変化から仕事を数える．

初めの状態方程式は $ν R T_{a} = 4 p_{e} A a$ ．固定中の自由膨張では $Q = W = 0$ で，理想気体の内部エネルギーは温度だけで決まるから温度は $T_{a}$ のままである．全体積が $2 A a$ から $3 A a$ になるので，圧力は $4 p_{e} / 3$ ．ピストンを内へ押す力は $p_{e} A + k a = 2 p_{e} A$ であり，気体の外向きの力より大きい．解除直後は内向きに動く．
終状態では全体積 $A a (2 + q)$ ，圧力 $p_{f} = p_{e} (1 + q)$ である．温度が初めと等しいので

(1 + q) (2 + q) = 4, q = \frac{\sqrt{17} - 3}{2} ≃ 0.562 .

もう一つの根は気体体積が負となるため除く．全体積に対して気体圧力は減少し，ばねの要求する圧力は増加するので，このつり合いは安定である．外界へ渡す正味の仕事は，大気の仕事とばねの弾性エネルギー変化の和で

W = p_{e} A a (q - 1) + \frac{k a^{2}}{2} (q^{2} - 1) = p_{e} A a [q - 1 + \frac{q^{2} - 1}{2}] ≃ - 0.781 p_{e} A a .

初終のピストンの運動エネルギーは0で，外部に散逸する仕事はないという仮定を使った．負号は，ばねと大気が気体へ正味の仕事を入れることを表す．気体の初終温度は同じなので $Δ U = 0$ ，第一法則より $Q = W < 0$ ．仕事で入ったエネルギーを熱源へ放出する．

同じ物質量の気体の両端を結ぶ可逆等温経路では，利用できる体積が $2 A a$ から $A a (2 + q)$ に増えるので

W_{r} = ν R T_{a} \ln \frac{2 + q}{2} ≃ 0.990 p_{e} A a .

これは別の境界操作での気体の仕事である．気体のエントロピー変化は可逆な計算用の経路から $Δ S_{g} = ν R \ln [(2 + q) / 2]$ ．実際の熱源は熱 $- Q = - W$ を受け取るから

S_{gen} = ν R \ln \frac{2 + q}{2} - \frac{W}{T_{a}} > 0, W_{r} - W = T_{a} S_{gen} ≃ 1.77 p_{e} A a .

弁を開いた段階だけでも $ν R \ln (3 / 2)$ を生成し，再平衡にも生成がある．実際の自由膨張の熱0を $T_{a}$ で割って気体のエントロピーを求めることはできない．外界のばね・大気への仕事は散逸なく蓄えられる模型とした．

総合演習 14

東京大 2009 前期（改題） ★★★★☆

蒸発の途中で天井に届く

鉛直筒のなめらかなピストンは断面積 $A$ ，質量 $m_{p}$ ，上側は真空です．可動中は $p_{b} = m_{p} g / A = 1.0 \times 10^{4} Pa$ です．初め $T_{i} = 300 K$ の水 $ν = 0.010 mol$ に接し，液体体積と初期蒸気量は無視します．体積 $V_{s} = 1.2 \times 10^{- 3} m^{3}$ で止め具に達します．水と共通温度の装置の熱容量は $C_{c} = 2.0 J K^{- 1}$ です．

一定のモル比熱は液体 $C_{l} = 75 J {mol}^{- 1} K^{- 1}$ ，蒸気 $C_{V v} = 3 R$ （定積）とし， $R = 8.3 J {mol}^{- 1} K^{- 1}$ です．飽和圧は $300$ 〜 $340 K$ で

p_{s} (T) = p_{b} \exp [α (T - T_{b})], α = 0.050 K^{- 1}, T_{b} = 320 K

と与えます． $T_{b}, p_{b}$ での定圧モル蒸発熱は $L_{b} = 4.4 \times 10^{4} J {mol}^{- 1}$ です．蒸気は理想気体とし，熱損失なく準静的に加熱します．

上昇開始の温度と，停止時の蒸気量・残液を求めてください．停止までの吸熱を昇温と蒸発に分けてください．
体積を固定して $340 K$ まで加熱します．全蒸発の境界温度の式を立て，最終状態が相共存か全蒸気か判定してください．
追加熱量を求めてください．定圧の潜熱を内部エネルギー差に使う誤りと，液体体積を無視する条件も説明してください．

**［図：蒸発で上昇するピストンと飽和圧］**
液体だけの初期状態，相共存してピストンが上昇する状態，止め具に達して体積Vsに固定された直後の状態を並べる．ピストンの上は密閉された真空である．下のグラフは与えられた飽和圧ps(T)と負荷圧pbの関係を示す．

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考え方

自由に動くピストンは圧力を決め，止め具は体積を決める．相が残るかは，その温度・体積で飽和蒸気が何 mol 入るかと水の総量を比べる．

初温で $p_{s} (T_{i}) < p_{b}$ なので蒸気はピストンを持ち上げられない．液体を温め， $p_{s} (T) = p_{b}$ となる $T_{b} = 320 K$ で上昇が始まる．その後は $p_{b}, T_{b}$ で相共存し，蒸発によって体積が増える．停止時の蒸気量は

ν_{s} = \frac{p_{b} V_{s}}{R T_{b}} = 4.52 \times 10^{- 3} mol < ν .

液体は $5.48 \times 10^{- 3} mol$ 残る．全蒸気になる体積 $ν R T_{b} / p_{b} = 2.66 \times 10^{- 3} m^{3}$ より，止め具の体積が小さいことでも判定できる．必要な熱は

Q_{r} = (ν C_{l} + C_{c}) (T_{b} - T_{i}) = 55 J, Q_{v} = ν_{s} L_{b} ≃ 199 J .

合計は約 $254 J$ ．定圧の蒸発熱には，ピストンを上げる仕事 $p_{b} V_{s} = 12 J$ が既に含まれるため，これを再び足さない．

液体が残れば蒸気量は $ν_{v} (T) = p_{s} (T) V_{s} / (R T)$ である．残液がなくなる温度 $T_{d}$ は

p_{b} e^{α (T_{d} - T_{b})} V_{s} = ν R T_{d}

を満たし，数値的には $T_{d} ≃ 337 K$ ． $\frac{d \ln (p_{s} / T)}{d T} = α - 1 / T > 0$ なので，この区間の境界は一つである． $340 K$ で全蒸気と仮定した圧力は

p_{v} = \frac{ν R (340 K)}{V_{s}} ≃ 2.35 \times 10^{4} Pa, p_{s} (340 K) ≃ 2.72 \times 10^{4} Pa .

前者が小さいので未飽和の全蒸気であり，残液は0となる．飽和蒸気量が総量を超えたら，圧力を飽和圧に固定し続けてはいけない．

液体の体積を無視すると， $T_{b}$ で1 mol の蒸発による内部エネルギー差は $u_{v} - u_{l} = L_{b} - R T_{b}$ である．第一法則で定圧蒸発の仕事 $R T_{b}$ を差し引いた結果である．実際の途中の熱を置き換えるのではなく，初終の状態量 $U$ をこの差で計算する．残液の気化と全蒸気の昇温，容器の昇温を足せば

Q_{a} = (ν - ν_{s}) (L_{b} - R T_{b}) + ν C_{V v} (340 K - T_{b}) + C_{c} (340 K - T_{b}) ≃ 272 J .

体積仕事は0で，合計の吸熱は約 $525 J$ である． $L_{b}$ をそのまま用いる誤りは $(ν - ν_{s}) R T_{b} ≃ 14.6 J$ の過大評価となる．模型では比熱一定，液体の内部エネルギーの圧力依存を無視した．液体モル体積 $w_{l}$ に対し $ν w_{l} / V_{s}$ と $p_{b} w_{l} / L_{b}$ が十分小さいことが，体積と仕事の補正を捨てる条件である．

総合演習 15

東京大 2002 前期（改題） ★★★★☆

液体を戻すと熱源に何が残るか

底の細管でつながる剛体の2容器に，密度 $ρ$ の非圧縮液体を入れ，弁で移動を止められるようにします．液面断面積は左 $A$ ，右 $2 A$ ，初液面は同じ高さです．上に密閉した単原子理想気体の物質量・体積は左 $(ν, V_{0})$ ，右 $(2 ν, 2 V_{0})$ ，共通の温度・圧力は $T_{0}, p_{0}$ です． $p_{0} V_{0} = ν R T_{0}$ ， $ρ g V_{0} / A = p_{0}$ とします．装置の熱容量，管体積，蒸発と液体・気体間の熱交換を無視し，液面は底や天井に届きません．

右を $T_{0}$ に保ち左をゆっくり加熱します．右への液体移送体積 $z$ で両気体の体積・圧力，左の温度を表し， $z = V_{0} / 2$ の状態 H の値を求めてください．移送の粘性抵抗は無視します．
H までの両気体の仕事と熱 $W_{L}, W_{R}, Q_{L}, Q_{R}$ を求め，仕事の和を液体の位置エネルギー増加と照合してください．
H で弁を閉じ，左を理想熱源 $T_{0}$ で冷やします．次に両気体を熱源に接して弁を開き，流れが内部で散逸して静止まで待ちます．元の状態へ戻るか判定し，H から復帰までの熱源の受熱と全エントロピー生成を求めてください．外への仕事と液体の熱容量は無視し，液体の散逸エネルギーも熱源へ逃げるとします．

**［図：断面積の異なる二つの容器の液体移送］**
液面断面積は左A，右2Aであり，上部の気体はそれぞれ密閉されている．左から右へ液体体積zを移すと，左液面はz/A下降し，右液面はz/(2A)上昇する．底の管には弁があり，左に加熱部，右に温度T0の熱源を描く．

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考え方

静水圧の差が，左の気体の仕事を右の圧縮と液体の持ち上げに分ける．復帰では，気体だけでなく液体の位置エネルギーも収支に入れる．

液面の高さの差は $3 z / (2 A)$ となる．同じ高さの液体圧力を等しくすると

V_{L} = V_{0} + z, V_{R} = 2 V_{0} - z, p_{R} = \frac{2 p_{0} V_{0}}{2 V_{0} - z}, p_{L} = p_{R} + \frac{3 ρ g z}{2 A}, \frac{T_{L}}{T_{0}} = \frac{p_{L} (V_{0} + z)}{p_{0} V_{0}} .

右の圧縮は等温であり，左は装置から定まるこの経路を進む．H では $V_{L} = V_{R} = 3 V_{0} / 2$ ， $p_{R} = 4 p_{0} / 3$ ， $p_{L} = 25 p_{0} / 12$ ， $T_{L} = 25 T_{0} / 8$ ．

$d V_{L} = d z$ ， $d V_{R} = - d z$ から

W_{L} = \int_{0}^{V_{0} / 2} p_{L} d z = 2 p_{0} V_{0} \ln \frac{4}{3} + \frac{3}{16} p_{0} V_{0}, W_{R} = - 2 p_{0} V_{0} \ln \frac{4}{3} .

右は圧縮されて仕事を受け取る．液面の変化前後で液体の重力位置エネルギーを積分すると，左右の一次の項が相殺され，

Δ E_{l} = \frac{ρ g}{2} [A (\frac{z}{A})^{2} + 2 A (\frac{z}{2 A})^{2}] = \frac{3 ρ g z^{2}}{4 A}

となる．H で $3 p_{0} V_{0} / 16 = W_{L} + W_{R}$ である．単原子気体の比熱を一定として， $Δ U_{L} = (3 / 2) ν R (25 T_{0} / 8 - T_{0}) = 51 p_{0} V_{0} / 16$ ， $Δ U_{R} = 0$ ．したがって

Q_{L} = \frac{27}{8} p_{0} V_{0} + 2 p_{0} V_{0} \ln \frac{4}{3}, Q_{R} = - 2 p_{0} V_{0} \ln \frac{4}{3} .

左が受け取る熱の一部は右の等温圧縮の放熱として熱源へ戻る．正味の吸熱 $27 p_{0} V_{0} / 8$ は，内部エネルギーと液体の位置エネルギーの増加の和に等しい．

弁を閉じた冷却後は，左の圧力が $2 p_{0} / 3$ ，右は $4 p_{0} / 3$ である．右の高い液面から左へ流れ始める．両気体が $T_{0}$ の終平衡では

\frac{p_{0} V_{0}}{V_{0} + z} - \frac{2 p_{0} V_{0}}{2 V_{0} - z} = \frac{3 ρ g z}{2 A} .

許される $- V_{0} < z < 2 V_{0}$ で左辺は単調減少，右辺は単調増加し，根は $z = 0$ だけである．元の体積・圧力・温度に戻るが，熱源は戻らない．外への仕事0なので，H で蓄えた全エネルギーの差から熱源の受熱は $Q_{b} = 27 p_{0} V_{0} / 8$ ．

気体のエントロピー差は，可逆な定積温度変化と等温体積変化で計算でき， $Δ S_{g} = ν R [- (3 / 2) \ln (25 / 8) - \ln (3 / 2) + 2 \ln (4 / 3)]$ ．熱源の変化を足すと

S_{gen} = ν R [\frac{27}{8} - \frac{3}{2} \ln \frac{25}{8} - \ln \frac{3}{2} + 2 \ln \frac{4}{3}] ≃ 1.84 ν R > 0 .

有限温度差による冷却と液体流の散逸を含む値である．液体の熱容量を無視しても，位置エネルギーは無視できない．

総合演習 16

東京大 2000 前期（改題） ★★★★☆

熱で上げるか，撹拌して上げるか

鉛直シリンダー C のピストンは断面積 $A$ ，質量 $M_{p}$ ，上側は真空です．下のストッパー上で体積は $B$ ，天井につなぐばねは自然長です．上昇 $h$ で下向きに $K h$ が働き， $p_{h} = M_{p} g / A$ ， $K B / A^{2} = p_{h}$ とします．初め C に単原子理想気体 $ν$ mol が $T_{i}, p_{h}$ で入り，弁の先の D は真空です．D のピストンは体積 $2 B$ で固定します．加熱時以外は断熱し，摩擦，装置熱容量，管体積は無視します．

弁開放後の温度・圧力と，ゆっくり加熱して C が上昇を始める Z の温度 $T_{b}$ ，必要な熱を求めてください．
Z から可逆に加熱し，C の体積が $2 B$ になる F の圧力・温度，仕事の内訳，吸熱 $Q_{h}$ を求めてください．
Z で弁を閉じ，D の留め具を外してピストンを速く上下に駆動し，元の位置で再固定します．気体への正味の仕事 $J > 0$ による D の温度と，再接続後に断熱で F へ至るための $J$ を求めてください．散逸は気体内部だけです．Z から F までの全エントロピー生成を加熱の道と比べてください．

**［図：ばね付き容器Cと駆動する容器D］**
上昇を始める状態Zでは容器Cの気体体積がB，容器Dが2Bで，弁でつながる．Cの上側は真空であり，天井のばねは自然長である．Cが上昇するとばねは圧縮され，下向きに力を及ぼす．Zからの可逆な加熱経路と，Dのピストンを上下に駆動して再接続する経路を分けて示す．

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考え方

全気体を系にすれば弁の中の移動は内部のやりとりとなる．熱と仕事を区別し，気体・ピストン・ばねの全エネルギーで終状態を決める．

初め $ν R T_{i} = p_{h} B$ ．断熱自由膨張は $Q = W = 0$ なので，温度 $T_{i}$ ，圧力 $p_{h} / 3$ となる．C は重力が気体の力より大きく，下のストッパーに支えられる．上昇開始は $p = p_{h}$ ，全体積 $3 B$ だから $T_{b} = 3 T_{i}$ ． $C_{V} = 3 R / 2$ を一定として，必要な熱は $Q_{0} = ν C_{V} (T_{b} - T_{i}) = 3 p_{h} B$ である．
$Δ V = A h$ とすると，つり合いは $p = p_{h} + K Δ V / A^{2} = p_{h} (1 + Δ V / B)$ ．F は全体積 $4 B$ ，圧力 $2 p_{h}$ で， $ν R T_{b} = 3 p_{h} B$ より $T_{f} = 8 T_{b} / 3$ ．

W = \int_{0}^{B} p_{h} (1 + Δ V / B) d Δ V = \frac{3}{2} p_{h} B, Δ U = \frac{3}{2} (8 - 3) p_{h} B = \frac{15}{2} p_{h} B, Q_{h} = 9 p_{h} B .

仕事は重力位置エネルギー $M_{p} g B / A = p_{h} B$ と弾性エネルギー $K (B / A)^{2} / 2 = p_{h} B / 2$ に分かれる．

Z で D には $2 ν / 3$ mol がある．断熱の第一法則から $(2 ν / 3) C_{V} (T_{D} - T_{b}) = J$ ，従って $T_{D} = T_{b} + J / (ν R)$ ．速い上下運動にはポアソンの式を使えず，初終の体積が同じでも仕事0にはならない．C は Z のままである．

再接続後の静止状態を $y = A h / B \geq 0$ とすると， $p = p_{h} (1 + y)$ ，全体積 $B (3 + y)$ ．気体の $U = 3 p V / 2$ と機械的エネルギー $p_{h} B (y + y^{2} / 2)$ を足して Z の値を引けば

E (y) - E (0) = p_{h} B (7 y + 2 y^{2}) = J .

$y \geq 0$ で単調増加するので，F の $y = 1$ を与える値は一意に $J = 9 p_{h} B = Q_{h}$ ．撹拌直後は $T_{D} = 4 T_{b}$ ，再平衡後は両室 $8 T_{b} / 3$ となる．

Z と F では同種の全気体が共通温度・圧力にあり，外から熱を受けない道の生成量は状態量の差から

S_{gen} = ν R [\frac{3}{2} \ln \frac{8}{3} + \ln \frac{4}{3}] > 0 .

仕事によるエントロピー流入はない．Z から F への加熱を無限小の温度差の熱源列で行えば，全体の生成量は0にできる．最初の真空への膨張はこの比較区間に含めない． $J = Q_{h}$ はエネルギー量の一致であって，可逆性の一致ではない．

総合演習 17

東京大 1997 後期（改題） ★★★★☆

仕切りがいちばん速い場所

全体積 $4 V_{c}$ ，断面積 $A$ の水平な密閉筒を質量 $M$ の断熱ピストンで仕切ります．初め固定し，左の単原子理想気体は $(ν, V_{c}, 2 T_{0})$ ，右の同じ気体は $(2 ν, 3 V_{c}, T_{0})$ の物質量・体積・温度です．壁は断熱，摩擦・漏れはなく，固定を衝撃なく外します．各側を一様な可逆断熱過程， $C_{V} = 3 R / 2$ ， $γ = 5 / 3$ と近似し，最初の右向き運動を考えます．

初めの力と，最大速度での左右の状態の関係・両体積を求めてください．最大の条件は理由も述べてください．
最大速度での両温度と速さを求めてください． $T_{0} = 280 K$ ， $ν = 0.020 mol$ ， $V_{c} = 5.0 \times 10^{- 4} m^{3}$ ， $A = 2.0 \times 10^{- 3} m^{2}$ ， $M = 0.80 kg$ ， $R = 8.31 J {mol}^{- 1} K^{- 1}$ でも計算してください．
最大速度の位置で止まりますか．無視した非一様性・散逸と，一様性の条件を，気体の長さ $ℓ_{i}$ ，音速 $c_{s, i}$ ，運動時間 $τ_{m}$ で説明してください．

**［図：高温室と低温室を分ける断熱ピストン］**
密閉された全体積4Vcの筒を，質量Mの断熱ピストンで分ける．初期の左室は物質量ν，体積Vc，温度2T0，右室は2ν，3Vc，T0である．固定具を外したあとの右向き変位xを青い矢印で示す．

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考え方

力が0の位置と速さが0の位置は異なる．加速度の符号から最大速度の位置を決め，内部エネルギーの減少をピストンの運動エネルギーに移す．

初圧は $p_{L 0} = 2 ν R T_{0} / V_{c}$ ， $p_{R 0} = 2 ν R T_{0} / (3 V_{c})$ なので，力は右向きに $F_{0} = 4 A ν R T_{0} / (3 V_{c})$ ．左の膨張で $p_{L}$ は下がり，右の圧縮で $p_{R}$ は上がる． $M \frac{d v}{d t} = A (p_{L} - p_{R})$ が正から負になる点，すなわち $p_{L} = p_{R}$ が最大速度の条件である．圧力差は変位に対して単調減少するので，最初の等圧点で最大となる．両側のポアソンの式から

\frac{p_{L 0} V_{c}^{5 / 3}}{V_{L}^{5 / 3}} = \frac{p_{R 0} (3 V_{c})^{5 / 3}}{V_{R}^{5 / 3}}, \frac{V_{R}}{V_{L}} = 3^{2 / 5} = r, V_{L}^{*} = \frac{4 V_{c}}{1 + r}, V_{R}^{*} = \frac{4 r V_{c}}{1 + r} .

比熱一定の $T V^{2 / 3} = 一定$ より

T_{L}^{*} = 2 T_{0} (\frac{1 + r}{4})^{2 / 3}, T_{R}^{*} = T_{0} (\frac{3 (1 + r)}{4 r})^{2 / 3} .

初めピストンは静止し，全内部エネルギーは $6 ν R T_{0}$ ．最大速度では $(3 / 2) ν R (T_{L}^{*} + 2 T_{R}^{*})$ なので，エネルギー保存から

v_{max} = \sqrt{\frac{3 ν R}{M} (4 T_{0} - T_{L}^{*} - 2 T_{R}^{*})} .

数値は $F_{0} ≃ 248 N$ ， $r ≃ 1.55$ ， $V_{L}^{*} ≃ 7.84 \times 10^{- 4} m^{3}$ ， $V_{R}^{*} ≃ 1.22 \times 10^{- 3} m^{3}$ ， $T_{L}^{*} ≃ 415 K$ ， $T_{R}^{*} ≃ 322 K$ ， $v_{max} ≃ 6.16 m s^{- 1}$ ．等圧でも両温度は一致しない．

加速度0でも速度は正で，慣性で通過してから減速する．散逸を除いた模型では往復を続け，自然に静止する終状態は予測しない．実際にはピストン付近の圧縮波，流れ，圧力・温度の空間的な不均一が生じる．(2) は，その巨視的な流れの運動エネルギーを無視している．粘性や乱れによる散逸は気体を加熱し，エントロピーを生成するので，断熱の壁でも $p V^{γ}$ 一定とは限らない．

一様な圧力を使うには，音の伝わる時間 $ℓ_{i} / c_{s, i}$ が $τ_{m}$ より十分短く，ピストンの速さが各音速より十分小さいことが必要である．さらに内部の平衡化は運動より速く，熱漏れと左右間の熱交換，運動中の散逸が小さいことを要する．実際の力はピストン表面の圧力で決まり，空間平均の圧力だけでは速い運動を記述できない．