熱力学の総合演習

輸送と放射で温度を決める

著者：柚木芹香

温度が時間とともにどう決まるかを，伝導・気体による輸送・放射のうちどれが支配するかを選びながら調べます．第18章の熱伝導・拡散・熱放射，第15章の平均自由行程とクヌーセン数，第16章の熱収支とエネルギー保存を組み合わせてください．見積りの手順はいつも同じです．まず長さと時間の尺度を作り，次にそれらを比べて，どの機構を残しどれを捨てるかを決めます．捨てた機構が効いてくる条件も，あわせて言えるようにしましょう．

総合演習 10

オリジナル ★★★★☆

排気を遅くしているのはポンプか管か（発展）

体積 $V = 2.0 \times 10^{- 2} m^{3}$ ，温度 $T = 300 K$ の容器から窒素を排気します．内部は一様・等温，漏れ・気体の放出・吸着は無視します．分子質量 $m = 4.65 \times 10^{- 26} kg$ ，同種硬球の衝突断面積 $σ = 4.3 \times 10^{- 19} m^{2}$ ， $k_{B} = 1.38 \times 10^{- 23} J K^{- 1}$ を使います．平均の速さは $\bar{v} = \sqrt{8 k_{B} T / (π m)}$ ，平均自由行程は $λ = 1 / (\sqrt{2} n σ)$ です．

直径 $d = 4.0 mm$ の排気口について， $p = 1.0 \times 10^{- 2} Pa$ と $100 Pa$ で $λ$ と $Kn = λ / d$ を求め，自由分子領域か粘性流の領域か判定してください．
自由分子領域で，薄い口の面積は $A = π d^{2} / 4$ ，口の向こうの圧力 $p_{p}$ は一定です．両側は同温度，片側からの毎秒の流出数は $n \bar{v} A / 4$ です．正味流出から $p (t)$ の式を導き， $p_{p} = 0$ のときの時定数と，初圧 $p_{0}$ を (1) の低い圧力としたときの100分の1への時間を求めてください．
薄い口を，同径で長さ $ℓ = 0.40 m$ の管と，排気速度 $K_{p} = 3.0 \times 10^{- 3} m^{3} s^{- 1}$ のポンプに置き換えます．壁で拡散反射する長管の透過確率は $χ = 4 d / (3 ℓ)$ です．管内の蓄積を無視し，実効排気速度 $K_{e}$ と100分の1への排気時間を求めてください．管径を半分にする場合と，ポンプの速度だけを10倍にする場合を比べ，装置のどこが支配するかを説明してください．

**［図：薄い排気口と長管による排気］**
左は容器圧pの気体が直径dの薄い口を通って出口圧pₚの領域と行き来する配置である．右は同じ直径dで長さℓの管をポンプにつないだ配置で，pₚは管出口・ポンプ入口の圧力である．青と緑の矢印は正逆の分子流を表し，矢印の長さは流量を表さない．

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考え方

第15章の粒子数保存と第18章の直列輸送を結ぶ．同じ流れに対する圧力差を足す．

$n = p / (k_{B} T)$ より $λ = k_{B} T / (\sqrt{2} p σ)$ である．低圧では $λ = 0.68 m$ ， $Kn = 1.7 \times 10^{2}$ なので自由分子領域である．高圧では $λ = 6.8 \times 10^{- 5} m$ ， $Kn = 0.017$ なので粘性流を考える． $Kn \sim 1$ は遷移領域で，自由分子模型は $Kn ≫ 1$ に限る．
$K_{0} = A \bar{v} / 4$ と置くと，正味の流出数は $K_{0} (n - n_{p})$ である．等温・体積一定なので $N = p V / (k_{B} T)$ から

V \frac{d p}{d t} = - K_{0} (p - p_{p}) .

一定の $p_{p}$ なら $p = p_{p} + (p_{0} - p_{p}) e^{- t / τ_{0}}$ ， $τ_{0} = V / K_{0}$ で， $p_{p} = 0$ なら単純な指数減衰になる． $K_{0} = 1.50 \times 10^{- 3} m^{3} s^{- 1}$ より $τ_{0} = 13.4 s$ ， $t_{100} = τ_{0} \ln 100 = 61.6 s$ である．排気で $Kn$ は大きくなるので，近似は改善する．等温の開放系の粒子収支である．

管の輸送係数は

K_{t} = K_{0} χ = \frac{π d^{3} \bar{v}}{12 ℓ}

である．毎秒の圧力体積流を $q$ とすれば，管で $q = K_{t} (p - p_{p})$ ，ポンプで $q = K_{p} p_{p}$ となる．従って

\frac{1}{K_{e}} = \frac{1}{K_{t}} + \frac{1}{K_{p}}, τ = \frac{V}{K_{e}} = V (\frac{1}{K_{t}} + \frac{1}{K_{p}}) .

管内の蓄積を無視し，流れが排気より速く調整する準定常模型である．数値は $K_{t} = 1.99 \times 10^{- 5}$ ， $K_{e} = 1.98 \times 10^{- 5}$ （単位 $m^{3} s^{- 1}$ ）， $τ = 1.01 \times 10^{3} s$ ， $t_{100} = 4.65 \times 10^{3} s$ である．

管径を半分にすると $K_{t}$ は8分の1になり，時定数の倍率は $(8 / K_{t} + 1 / K_{p}) / (1 / K_{t} + 1 / K_{p}) = 7.95$ となる．ポンプだけを10倍にしても実効速度は約1.006倍，時間は約0.994倍にとどまる．今回は $K_{p} / K_{t} \approx 150$ なので，支配するのは長管である． $K_{p} \to \infty$ でも $τ \to V / K_{t}$ という限界が残る．長管・自由分子流・拡散反射を仮定した．

総合演習 11

オリジナル ★★★★★

粒子と光のどちらが圧力とエネルギーを担うか（発展）

恒星内部の小領域で，物質と放射は同温度 $T$ の局所熱平衡にあります．物質を完全電離した純粋水素に置き換え，陽子と電子は古典的・非相対論的理想気体です．数密度 $n$ は陽子と電子の合計です．陽子質量は $m_{p} = 1.67 \times 10^{- 27} kg$ で，電子の質量を無視すると質量密度 $ρ$ に対して $n = 2 ρ / m_{p}$ です．相互作用・反応は無視します．

放射のエネルギー密度 $u_{r}$ と圧力 $p_{r}$ は，等方的平衡放射の模型で

u_{r} = a T^{4}, p_{r} = \frac{u_{r}}{3}, a = \frac{4 σ_{SB}}{c}

と与えます． $σ_{SB} = 5.67 \times 10^{- 8} W m^{- 2} K^{- 4}$ ， $c = 3.0 \times 10^{8} m s^{- 1}$ ， $k_{B} = 1.38 \times 10^{- 23} J K^{- 1}$ です．

分子運動論から気体圧 $p_{g}$ と放射圧が等しくなる数密度 $n_{*}$ ，質量密度 $ρ_{*}$ ，各圧力 $p_{*}$ を求めてください．
太陽中心の目安 $T_{A} = 1.5 \times 10^{7} K$ ， $ρ_{A} = 1.5 \times 10^{5} kg m^{- 3}$ と，比較用の仮想点 $T_{B} = 3.0 \times 10^{7} K$ ， $ρ_{B} = 1.0 \times 10^{2} kg m^{- 3}$ で両圧力と比を求め，支配する機構を判定してください．
気体のエネルギー密度を導き，放射のエネルギーをその1 %以下にできる条件を $T, ρ$ で書いてください．(2) の両点で確かめ，等圧点でのエネルギー比も求めてください．放射圧が気体圧の1 %以下なら，エネルギーも省略できますか．

**［図：気体と放射の圧力・エネルギーの境界］**
上段は共通温度Tの陽子・電子と等方的放射を含む小領域の模式図である．下段の両対数T–ρ平面には，気体圧と放射圧の等値線p_g=p_rと，放射エネルギーが気体の1 %となる境界u_r/u_g=0.01を，本文に与えられた定数と完全電離水素の模型から描いた．後者の境界より高密度側で放射エネルギーを省略できる．AとBは本文の比較点である．

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考え方

第15章の並進運動による圧力と第18章の放射圧を比べる．圧力とエネルギーの対応係数は異なる．重力と全体の熱輸送は扱わない局所模型である．

理想気体で $p_{g} = 2 u_{g} / 3 = n k_{B} T$ である． $n k_{B} T = a T^{4} / 3$ より

n_{*} = \frac{a T^{3}}{3 k_{B}}, ρ_{*} = \frac{m_{p} n_{*}}{2}, p_{*} = \frac{a T^{4}}{3} .

全圧は $2 p_{*}$ である．

$n = 2 ρ / m_{p}$ を代入すると，圧力比は

\frac{p_{r}}{p_{g}} = \frac{a m_{p} T^{3}}{6 ρ k_{B}} = \frac{ρ_{*}}{ρ}

である．計算値は次のとおりである．

点	$p_{g} / Pa$	$p_{r} / Pa$	$p_{r} / p_{g}$
A	$3.7 \times 10^{16}$	$1.3 \times 10^{13}$	$3.4 \times 10^{- 4}$
B	$5.0 \times 10^{13}$	$2.0 \times 10^{14}$	$4.1$

Aでは気体圧が支配し，Bでは放射圧が全圧の約80 %を担う．

陽子・電子の並進に等分配則を用いると $u_{g} = 3 n k_{B} T / 2 = 3 ρ k_{B} T / m_{p}$ である．したがって

\frac{u_{r}}{u_{g}} = \frac{a m_{p} T^{3}}{3 ρ k_{B}} = 2 \frac{p_{r}}{p_{g}} .

条件は $ρ \geq 100 a m_{p} T^{3} / (3 k_{B}) = 200 ρ_{*}$ で， $T$ を上げるほど必要な密度は3乗で増える．Aのエネルギー比は $6.9 \times 10^{- 4}$ ，約0.069 %なので省略できる．Bでは約8.2で，放射がエネルギーの大部分を占める．等圧点では比が2となる．

気体圧の1 %以下まで放射圧を抑えても，エネルギー比は2 %まで残る．同じ基準なら圧力比を0.005以下にする必要がある．古典的・非相対論的・電離度一定の模型内の結論である．

総合演習 12

オリジナル ★★★★★

回る衛星の表面はいつ一つの温度になるか（発展）

半径 $r = 0.050 m$ ，長さ $ℓ = 0.60 m$ ，壁厚 $L = 1.0 mm$ の薄肉円筒を衛星の熱模型にします．軸は太陽光に垂直で，自転周期は $P_{r}$ です．内面は断熱，側面だけが受光・放射し，端面・発熱・食・背景放射は無視します．太陽光の吸収率 $α_{s} = 0.60$ ，熱赤外線の放射率 $ε = 0.80$ です．波長域が異なるので同値とはしません．太陽放射の流束は $F_{s} = 1.2 \times 10^{3} W m^{- 2}$ ，体積あたりの熱容量は $ρ c_{s} = 2.0 \times 10^{6} J m^{- 3} K^{- 1}$ で，物性値は一定です．放射定数は前問と同じです．

表面温度が一様な場合の平衡温度 $T_{0}$ を， $α_{s} / ε$ を含めて求めてください．
熱伝導率 $κ = 200 W m^{- 1} K^{- 1}$ ， $P_{r} = 60 s$ とします．熱拡散率 $α_{th}$ ，壁内部と周方向の拡散時間，放射緩和時間を求め，均温近似を検討してください．放射面積を $A$ ，全熱容量を $C$ とします．伝導を落とした局所周期模型で，吸収量から温度幅の上限も求めてください．表面部分への日射は $q (t) = α_{s} F_{s} max (\cos (2 π t / P_{r}), 0)$ です．
同じ形と熱容量で $κ = 0.10 W m^{- 1} K^{- 1}$ ， $P_{r} = 1.0 \times 10^{4} s$ とします．昼の正対点の局所平衡温度を求めてください．夕方 $T_{s} = 280 K$ の部分を，周方向伝導を落として夜の半周期冷やし，明け方の温度と昼夜差を求めてください．有限時間で温度を0と置けるか，伝導を省く条件も論じてください．

**［図：自転する薄肉円筒の受光と放射］**
側面図は太陽光に垂直な円筒軸と長さℓ，受光・放射する側面を示す．断面図は半径r，太陽光に対する投影幅2r，拡大した壁厚L，断熱した内面を示す．赤い点は追跡する表面部分で，自転周期P_rに従って受光する昼と非受光の夜を交互に通る．放射は昼側と夜側の両方から出る．端面や寸法比は省略した．

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考え方

第18章の放射・拡散，第16章の熱容量を使う．壁内部の均温，周方向の均温，時間変動を分ける．

太陽へ向けた投影面積は $2 r ℓ$ ，放射面積は $2 π r ℓ$ である．従って $α_{s} F_{s} (2 r ℓ) = ε σ_{SB} A T_{0}^{4}$ より

T_{0} = {(\frac{α_{s}}{ε} \frac{F_{s}}{π σ_{SB}})}^{1 / 4} = 2.67 \times 10^{2} K .

$T = T_{0} + ϑ$ を放射の式へ代入し， $T_{0} ≫ | ϑ |$ で線形化すると，放射係数は $h_{r} = 4 ε σ_{SB} T_{0}^{3} = 3.44 W m^{- 2} K^{- 1}$ となる．小さな温度ずれは $C d ϑ / d t = - h_{r} A ϑ$ に従うので

τ_{r} = \frac{C}{4 ε σ_{SB} A T_{0}^{3}} = 5.82 \times 10^{2} s

である． $C = ρ c_{s} A L$ ， $α_{th} = κ / (ρ c_{s}) = 1.0 \times 10^{- 4} m^{2} s^{- 1}$ から，壁内部は $L^{2} / α_{th} = 0.010 s$ ，周方向は $r^{2} / α_{th} = 25 s$ となる．

一様近似の十分条件は，壁内部・周方向の拡散が放射緩和より十分速く，自転周期も十分短いことである．同じ受光履歴を時間差で受ける側面に限る．速い自転だけでは一般に均温を保証しない．面積あたりの熱容量 $H = ρ c_{s} L$ の局所周期模型では，1周期の吸収量以上にエネルギーは増せないので

T_{max} - T_{min} \leq \frac{1}{H} \int_{0}^{P_{r}} q (t) d t = \frac{α_{s} F_{s} P_{r}}{π H} = 6.9 K

である．放射損失を落とした上限でも $T_{0}$ の約2.6 %で，伝導はさらに差を抑える．

正対点で $α_{s} F_{s} = ε σ_{SB} T_{d}^{4}$ とすれば $T_{d} = 355 K$ である．低伝導率では熱拡散率 $5.0 \times 10^{- 8} m^{2} s^{- 1}$ ，壁内部の時間は $20 s$ ，周方向は $5.0 \times 10^{4} s$ となる．壁内部は同温度と扱えるが，円周全体への均一化は遅い．昼の日射の変化の目安は $P_{r} / (2 π) \approx 1.6 \times 10^{3} s$ で，その温度での放射緩和時間約 $2.5 \times 10^{2} s$ より長く，昼の中央付近で局所平衡を使える．

夜には $H d T / d t = - ε σ_{SB} T^{4}$ である． $T^{- 4} d T$ を積分すると

T (t) = {[T_{s}^{- 3} + \frac{3 ε σ_{SB}}{H} t]}^{- 1 / 3} .

$H = 2.0 \times 10^{3} J m^{- 2} K^{- 1}$ ， $t = P_{r} / 2 = 5.0 \times 10^{3} s$ より明け方 $137 K$ ，昼の正対点との差は約 $218 K$ となる．有限時間では正で，長い夜も $T \propto t^{- 1 / 3}$ と下がる． $T_{0}$ のまわりの指数冷却をこの大きな温度差まで延長してはいけない．

夜時間と周方向拡散時間の比は0.10で，見積りである．確実に伝導を省くにはこの比も，隣から入る熱流と放射損失の比も十分小さくする．伝導は夜温度を上げ，昼夜差を縮める．