東大の熱の過去問を発展させる（2） | 問いから始める物理

総合演習 18

東京大 1996 前期（改題） ★★★★★

気体ばねの周期と，散逸後に残る変位

水平筒に，物質量 $ν$ ，モル比熱 $C_{V}$ ， $C_{p} = C_{V} + R$ ， $γ = C_{p} / C_{V}$ が一定の理想気体を封じます．断面積 $A$ のピストンは，外圧 $p_{e}$ と圧縮向きの一定負荷 $F_{L}$ を受けます．負荷装置は仕事を可逆に蓄え，装置を含む運動の有効質量は $M$ です．温度 $T_{0}$ の平衡体積を $V_{0}$ ，そこから膨張向きの変位を $x$ とします．気体の慣性，漏れ，壁の熱容量を無視します．

基準圧力 $P$ と $V_{0}$ ， $| A x | / V_{0}$ が1より十分小さい振動の周期を求めてください．熱壁で $T_{0}$ を保つ周期を $Π_{i}$ ，断熱で散逸のない周期を $Π_{a}$ とし，その比を圧縮への応答から説明してください．
$T_{0}$ を保って $V_{i} = (1 + η) V_{0}$ ， $η > - 1$ にし，壁を断熱に切り替えて初速度 $u$ を与えます．ピストンの動きで回るプロペラの散逸仕事は全て気体に入り，最後は静止します．最終体積・温度・変位を求め，回転有効・振動凍結の二原子気体で $γ = 7 / 5, η = 0.14, u = 0$ の温度比・体積比も計算してください．
放した直後から静止までの内部エネルギー変化と全系のエントロピー増加を求めてください．外気への仕事も理想的な機械的蓄積とします．散逸仕事の行先と， $u = 0$ の小さい $η$ で生成が何次から現れるかを説明してください．

**［図：気体ばねの基準と準備と最終状態］**
外圧peと圧縮向きの一定負荷FLを受けるピストンにはプロペラの駆動が連動する．基準状態は体積V0，温度T0の平衡である．準備では温度T0を保って体積Viにし，熱壁を断熱壁に替えて初速度uを与える．最終状態は体積Vf，温度Tfで静止する．体積と位置は模式的に描く．

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考え方

圧力の傾きから周期を，気体と装置のエネルギー保存から散逸後の状態を求める．内部の平衡化は運動より速く，一様な温度・圧力を定義できるとする．

力のつり合いから $P = p_{e} + F_{L} / A$ ， $V_{0} = ν R T_{0} / P$ ．等温では $p = P / (1 + A x / V_{0})$ より，合力は $A (p - P) ≃ - P A^{2} x / V_{0}$ ．断熱で体積仕事だけなら，比熱一定の条件で $p V^{γ} = P V_{0}^{γ}$ だから，合力は $- γ P A^{2} x / V_{0}$ となる．したがって

Π_{i} = 2 π \sqrt{\frac{M V_{0}}{P A^{2}}}, Π_{a} = 2 π \sqrt{\frac{M V_{0}}{γ P A^{2}}}, \frac{Π_{i}}{Π_{a}} = \sqrt{γ} .

断熱圧縮では数密度に加えて分子の運動エネルギーと温度も増し，圧力上昇が大きい．等温ではそのエネルギーが熱源へ逃げ，復元力が弱い．熱移動が周期より十分速ければ等温，周期内に無視できれば断熱である．

初期運動エネルギーを $K_{i} = M u^{2} / 2$ ， $χ = K_{i} / (ν R T_{0})$ とする．終状態では $P V_{f} = ν R T_{f}$ ．外への仕事は一定負荷に対する $P (V_{f} - V_{i})$ なので，初終で

ν C_{V} (T_{f} - T_{0}) + P (V_{f} - V_{i}) = K_{i} .

$P V_{0} = ν R T_{0}$ を使い， $z = T_{f} / T_{0} = V_{f} / V_{0}$ とおけば

z = 1 + \frac{γ - 1}{γ} (η + χ), V_{f} = z V_{0}, T_{f} = z T_{0}, x_{f} = \frac{V_{0}}{A} (z - 1) .

終状態は線形近似によらない．数値の場合は $z = 1.04$ ， $V_{f} = 1.04 V_{0}$ ， $x_{f} = 0.04 V_{0} / A$ ．自由度一定の温度域と壁に衝突しない範囲で有効である．

$Δ U = ν C_{V} T_{0} (z - 1) = K_{i} + P (V_{i} - V_{f})$ ．ピストン・プロペラの運動は乱雑な分子運動に変わるが，負荷との体積仕事も $U$ を変える．プロペラの総散逸仕事は経路に依り， $Δ U$ そのものではない．

比熱一定の理想気体の状態量の差から

Δ S = ν C_{V} \ln z + ν R \ln \frac{z}{1 + η} = ν C_{p} \ln z - ν R \ln (1 + η) .

機械的蓄積のエントロピーは不変である． $u = 0$ で右辺の $η$ 微分の符号は $η$ と一致し，最小値は $η = 0$ の0． $K_{i} > 0$ は $z$ を増して生成を増す． $u = 0$ では1次が消え， $Δ S ≃ ν R η^{2} / (2 γ)$ と2次から現れる．実際の熱 $Q = 0$ を温度で割っても散逸による生成は求まらない．

総合演習 19

東京大 1990 前期（改題） ★★★★★

凝縮する容器と，熱源を切り替える容器

向かい合う水平シリンダーA，Bの等面積 $A$ のピストンを，軽い断熱の剛い軸で結びます．摩擦なく動き，全気体体積は $3 V_{*}$ で一定，容器間の物質移動はありません．初めAに $2 ν$ モルの飽和水蒸気と微量の液体，Bに $ν = 0.50 mol$ のヘリウムがあり，両温度は $T_{s} = 360 K$ です．この温度での飽和圧 $p_{s} = 6.0 \times 10^{4} Pa$ ，モル蒸発潜熱 $L_{v} = 4.1 \times 10^{4} J {mol}^{- 1}$ を与えます． $L_{v}$ はモルエンタルピー差です．蒸気は理想気体，液体体積は無視し， $V_{*} = ν R T_{s} / p_{s}$ とします．ヘリウムは $C_{V} = 3 R / 2, C_{p} = 5 R / 2$ が一定です．

固定壁は伝熱・断熱を切り替えられます．段階IではAを低温熱源 $T_{s}$ ，Bを高温熱源 $3 T_{s}$ に弱く接し，ゆっくり動かしてBが $2 V_{*}$ で高温熱源を外します．段階IIでは軸を固定し，Aを断熱，Bを低温熱源に接して $T_{s}$ まで冷やします．熱源は理想熱源で，装置の熱容量，固定操作の仕事，力学的散逸は無視します．

段階Iの終温，蒸気量，凝縮量，Bの仕事と吸熱，Aの放熱を求めてください．水の内部エネルギー減少は凝縮量と $L_{v}$ の積ですか．
段階IIの熱・仕事，軸の支持力を求め，全過程の内部エネルギー変化を2熱源の収支と照合してください．
水，ヘリウム，2熱源それぞれのエントロピー変化とその和を求めてください．同じ終状態へ進める高温熱源の温度 $T_{H}$ を変えると，生成はどう変わりますか．潜熱が最終式から消える理由も説明してください．

**［図：凝縮する容器と熱源を替える容器］**
等面積の向かい合うピストンを断熱の剛い軸で結ぶ．初期体積は水側Aが2V＊，ヘリウム側BがV＊である．段階IではAから温度Tsの低温源へ放熱し，温度3Tsの高温源からBへ吸熱する．段階IIでは軸を固定し，Aを断熱として，Bから低温源へ放熱する．各段階で軸の長さは同じで，物質は容器間を移らない．

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考え方

相共存中のAの圧力がBの過程を決める．定圧の潜熱と内部エネルギー差を，圧縮仕事で結びつける．

相共存から $p_{A} = p_{s}$ ，軸のつり合いから $p_{B} = p_{s}$ も一定．Bの体積2倍より $T_{B, I} = 2 T_{s}$ ．Aの体積は $V_{*}$ ，蒸気は $p_{s} V_{*} / (R T_{s}) = ν$ モルとなり，同量が凝縮する．

W_{B, I} = p_{s} V_{*} = ν R T_{s}, Q_{B, I} = ν C_{p} T_{s}, Q_{A, I} = - ν L_{v} .

Aの $W_{A, I} = - ν R T_{s}$ より $Δ U_{A, I} = - ν (L_{v} - R T_{s})$ ．圧縮仕事の分だけ潜熱と異なる．Bの吸熱は約 $3.7 \times 10^{3} J$ ，Aの放熱は約 $2.1 \times 10^{4} J$ である．

固定後は $W_{B, I I} = 0$ ， $Q_{B, I I} = - ν C_{V} T_{s}$ ．Aの状態は不変．Bの終圧は $p_{s} / 2$ なので，固定具は差圧に逆らってBからAへ $A p_{s} / 2$ の力を出す．変位がなく固定具の仕事は0である．

ヘリウムは初温へ戻るため $Δ U_{B} = 0$ ，全体の $Δ U = - ν L_{v} + ν R T_{s}$ ．高温源からの $ν C_{p} T_{s}$ と低温源への $ν L_{v} + ν C_{V} T_{s}$ の差に等しい．容器間の仕事はIで相殺し，IIでは0である．

同温・飽和圧の可逆な凝縮より $Δ S_{A} = - ν L_{v} / T_{s}$ ．初温で体積2倍のヘリウムは $Δ S_{B} = ν R \ln 2$ ．熱源は受熱を温度で割り，

Δ S_{H} = - \frac{ν C_{p}}{3}, Δ S_{L} = \frac{ν L_{v}}{T_{s}} + ν C_{V} .

したがって

Δ S = ν (R \ln 2 + C_{V} - \frac{C_{p}}{3}) = ν R (\ln 2 + \frac{2}{3}) > 0 .

生成は段階Iの $ν C_{p} (\ln 2 - 1 / 3)$ とIIの $ν C_{V} (1 - \ln 2)$ に分かれる．水の減少と同温熱源への潜熱による増加は相殺する．

$T_{H}$ なら $Δ S = ν [R \ln 2 + C_{V} - C_{p} T_{s} / T_{H}]$ ．到達には $T_{H} \geq 2 T_{s}$ が必要で，等号は無限時間の極限． $T_{H}$ を下げると生成は減るが，下限も $ν R (\ln 2 + 1 / 4) > 0$ ．Iの加熱とIIの冷却には温度差があり，ゆっくりでも不可逆である．

総合演習 20

東京大 1988 前期（改題） ★★★★★

弁の開閉と，降下する仕切板のエネルギー

断面積 $A$ ，高さ $H$ の断熱箱を，弁のある質量 $M$ の透熱仕切板で上下に分けます．板は気密を保って滑らかに動き，高さ $H / 5$ のストッパーより下へ行きません．初め板はストッパー上，弁は閉じ，上室は真空，下室は $ν$ モルの二原子理想気体です．回転有効・振動凍結で $C_{V} = 5 R / 2, C_{p} = 7 R / 2$ は一定です． $T_{*} = M g H / (5 ν R)$ ，初温は $T_{*} / 2$ とします．箱と板の熱容量，気体の重力エネルギーを無視します．

ゆっくり加熱し，板が高さ $3 H / 5$ で静止した所で止めます．板を固定して弁を短時間開閉し，気体の一部を真空側へ移します．固定を解除して待つと，高さ $2 H / 5$ で静止し，両室は同温と測定されました．減衰の散逸仕事は全て気体に入り，弁操作と固定解除の仕事は無視します．

初めの1分子の平均並進運動エネルギー，浮き始める温度，浮く前と浮いてから弁操作前の各供給熱を求めてください．
弁操作前の内部エネルギー，最終温度，上室の物質量を求めてください．真空への移動の仕事と板の位置エネルギーから，内部エネルギー増加を説明してください．
加熱停止から最終静止までのエントロピー生成を求めてください．分子の札による混合項は必要ですか．

**［図：降下する仕切板の三つの状態］**
高さHの断熱箱に質量Mの弁付き透熱仕切板を置く．初期は高さH/5のストッパー上で，上室は真空，下室には気体がある．加熱停止時は高さ3H/5で固定し，弁の短時間開閉後に固定を解除する．最終静止時は高さ2H/5となり，両室に同温の気体がある．

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考え方

加熱の定積・定圧過程を分ける．弁操作後は全気体と板の保存則を使い，散逸過程へポアソンの式を使わない．

並進の平均 $3 k_{B} T / 2$ より初めは $3 k_{B} T_{*} / 4$ ．回転込みでは $5 k_{B} T_{*} / 4$ である．浮く条件 $p A = M g$ と体積 $A H / 5$ より浮く温度は $T_{*}$ ．それまでは体積仕事0で，

Q_{1} = ν C_{V} \frac{T_{*}}{2} = \frac{M g H}{4} .

浮いた後は $p = M g / A$ 一定，体積3倍より $T_{i} = 3 T_{*}$ ． $W_{2} = 2 M g H / 5$ ， $Δ U_{2} = ν C_{V} (2 T_{*}) = M g H$ だから $Q_{2} = Δ U_{2} + W_{2} = 7 M g H / 5$ ．

弁操作前は $U_{i} = ν C_{V} T_{i} = 3 M g H / 2$ ．板固定で弁を開く間は外壁も固定具も仕事をせず，全気体の $U$ は不変．一部の気体だけを見れば物質とエネルギーが出入りする開放系で，そこへ $Q = W = 0$ を課せない．

解除後は板が $H / 5$ 下がる．全気体の体積仕事と板への仕事をまとめると， $U_{f} - U_{i} = M g H / 5$ ．したがって

U_{f} = \frac{17}{10} M g H, T_{f} = \frac{17 M g H}{25 ν R} = \frac{17}{15} T_{i} .

板の位置エネルギーが分子運動に変わり温度が上がる．上室の割合 $a = ν_{U} / ν$ は，つり合いから

\frac{(1 - a) ν R T_{f}}{2 H / 5} - \frac{a ν R T_{f}}{3 H / 5} = M g, \frac{5}{2} (1 - a) - \frac{5}{3} a = \frac{25}{17} .

$a = 21 / 85$ ， $ν_{U} = 21 ν / 85$ ， $ν_{L} = 64 ν / 85$ ．板はストッパーより上で差圧に支えられ，途中の不可逆な経路を指定せず終状態が決まる．

モルエントロピーは基準定数を除き $C_{V} \ln T + R \ln (V / ν)$ ．終2室の和から初期の全量を引くと定数は相殺する．初体積 $3 A H / 5$ に対するモル体積比は下 $85 / 96$ ，上 $85 / 21$ なので

Δ S = ν R [\frac{5}{2} \ln \frac{17}{15} + \frac{64}{85} \ln \frac{85}{96} + \frac{21}{85} \ln \frac{85}{21}] > 0 .

値は約 $0.567 ν R$ ．外は断熱で板の $S$ を無視するため，全系の生成である．下室の圧縮の負の寄与より，温度上昇と上室への広がりが大きい．弁での移動，熱移動，減衰が生成を生む．同種分子の札は別成分を作らず，架空の混合項は加えない．

総合演習 21

東京大 1984 前期（改題） ★★★★★

断熱の復元力と，熱スイッチを閉じた後の緩和

向かい合う水平シリンダーの等面積 $A$ のピストンを剛い軸で結びます．全質量 $M$ の連結体の右向き変位 $x$ で，左室は $A x$ 増え，右室は同量減ります．外圧は相殺し，摩擦，気体の慣性，装置の熱容量を無視します．左 $ν$ ，右 $2 ν$ モルの同じ二原子理想気体で，回転有効・振動凍結， $C_{V} = 5 R / 2, C_{p} = 7 R / 2, γ = 7 / 5$ は一定です．

初温は $T_{1} = T_{0} + θ, T_{2} = T_{0} - θ$ ，共通圧力は $p_{*}$ ， $0 < θ / T_{0}$ は1より十分小さいとします．外壁は断熱で，軸内の金属線は物質を通さず，熱スイッチを閉じたときだけ左右にゆっくり熱を流します．

スイッチを開き，軸をわずかに右へ動かして放します．微小な温度・圧力変化を連立し，復元力と振動数 $f$ を求めてください．
元に戻してスイッチを閉じ，つり合いを保って同温まで待ちます．圧力一定を示し，終温，軸の移動，左から右への熱を求めてください．
全系のエントロピー生成を対数式で求め， $θ / T_{0}$ の2次まで評価してください．伝熱を弱めて十分ゆっくり行えば，生成は消えますか．

**［図：連結ピストンの変位と熱スイッチ］**
等面積Aのピストンを剛い軸で結ぶ．左室は物質量ν，初温T0＋θ，右室は2ν，T0−θで，共通初圧はp＊である．右向き変位xによって左体積はAx増え，右体積はAx減る．軸内の金属線は物質を通さず，熱スイッチが閉じたときだけ伝熱する．実線は初位置，青い点線は右へ変位した位置である．

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考え方

振動には各室の断熱条件，熱緩和には全気体のエネルギー保存を使う．共通圧力の変化は状態方程式と保存則から決める．

初体積は $V_{1} = ν R T_{1} / p_{*}$ ， $V_{2} = 2 ν R T_{2} / p_{*}$ ．断熱で体積仕事だけの微小変化では $ν_{i} C_{V} δ T_{i} = - p_{*} δ V_{i}$ ．状態方程式の微小変化 $δ p_{i} / p_{*} + δ V_{i} / V_{i} = δ T_{i} / T_{i}$ と連立して

\frac{δ T_{i}}{T_{i}} = - (γ - 1) \frac{δ V_{i}}{V_{i}}, δ p_{i} = - γ p_{*} \frac{δ V_{i}}{V_{i}} .

$δ V_{1} = A x, δ V_{2} = - A x$ より軸への合力は $F = A (δ p_{1} - δ p_{2}) = - γ p_{*} A^{2} (1 / V_{1} + 1 / V_{2}) x$ ．従って

f = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{γ p_{*} A^{2}}{M} (\frac{1}{V_{1}} + \frac{1}{V_{2}})} .

体積・温度の変化率は十分小さく，内部の平衡化は振動より速いとする．

外への仕事は相殺し，準静的な連結体の運動エネルギーは無視できる．同じ $C_{V}$ だから保存則は $d T_{1} + 2 d T_{2} = 0$ ．共通圧力 $p$ に対して $p (V_{1} + V_{2}) = ν R (T_{1} + 2 T_{2})$ なので，全体積と右辺の保存から $p = p_{*}$ は一定となる．

T_{f} = \frac{T_{1} + 2 T_{2}}{3} = T_{0} - \frac{θ}{3}, Δ T_{1} = - \frac{4 θ}{3}, Δ T_{2} = \frac{2 θ}{3} .

定圧より $Δ V_{1} = ν R Δ T_{1} / p_{*} = - 4 ν R θ / (3 p_{*}) = - Δ V_{2}$ ．軸は左へ $4 ν R θ / (3 A p_{*})$ 動く．左は圧縮仕事を受け，流出熱は

Q_{1 \to 2} = ν C_{p} (T_{1} - T_{f}) = \frac{4}{3} ν C_{p} θ .

右の吸熱 $2 ν C_{p} (T_{f} - T_{2})$ と一致する．

各室の差を定圧の可逆経路で計算すれば $ν_{i} C_{p} \ln (T_{f} / T_{i})$ ． $a = θ / T_{0}$ として

Δ S = ν C_{p} [3 \ln (1 - \frac{a}{3}) - \ln (1 + a) - 2 \ln (1 - a)] ≃ \frac{14}{3} ν R a^{2} .

$\ln (1 + y) = y - y^{2} / 2 + \dots$ で1次が消え，2次が正になる．微小熱 $d q$ の生成 $(1 / T_{2} - 1 / T_{1}) d q$ は温度差とともに減る．初めの逆温度差を総熱に掛けると，2次の生成を2倍に過大評価する．

準静的な力学には熱緩和が周期 $1 / f$ より十分遅く，内部の平衡化がさらに速いことが必要である．伝熱を弱めても同じ初終状態の生成は消えず，温度差を熱が流れるため不可逆である．

総合演習 22

東京大 1992 後期（改題） ★★★★★

ばねの硬さは熱容量を変えるか

真空中の水平シリンダーに，断面積 $A$ の軽いピストンで $ν$ モルの二原子理想気体を封じます．気体長 $x > 0$ ，体積 $A x$ です．摩擦のない理想てこでピストンをばねにつなぎ，膨張するとばねが伸びます．自然長からの伸びは $b x$ ，倍率 $b = 3 / 2$ ，ばね定数は $k$ です．回転有効・振動凍結で $C_{V} = 5 R / 2$ は一定です．装置の熱容量・慣性・漏れ，ばねの熱運動を無視します．

初め $T_{0}, x_{0}$ でつり合っています．加熱部以外は断熱とし，総熱 $Q = 0.12 ν R T_{0}$ をゆっくり与えます．

てこの仕事からばねの復元力を求め，弾性エネルギー $E$ と内部エネルギー $U$ の比が一定であることを示してください．
温度・長さの増加の厳密式と小さい加熱の近似式，与えた $Q$ での各比，ばねに蓄える割合を求めてください．
準静的経路の実効熱容量 $C_{eff} = d Q / d T$ は $k$ に依りますか．別の装置で初めから固定小室 $V_{d} > 0$ を連結し，全体積を $V_{d} + A x$ とするとどうですか．同じ $ν, T_{0}$ で比べ， $k \to 0, \infty$ の形式的な極限も求めてください．

**［図：てこを介して伸ばすばねと固定小室］**
真空中の気体長xのピストンを倍率b＝3/2の理想てこに結ぶ．ピストンが右へ動くと，てこの下端は左へb倍動き，右の固定端に結ぶばねが伸びる．自然長からの伸びbxを，ばね全長とは別の寸法として示す．上段は体積Ax，下段は固定小室Vdを管で連結する別装置である．加熱部以外の壁は断熱である．

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考え方

つり合いと幾何から，気体の仕事として蓄える弾性エネルギーを求め，第一法則に入れる．

ばねの微小仕事 $k b x b d x$ より復元力は $k b^{2} x$ ． $K = k b^{2}$ とすると $p A = K x$ ，従って

ν R T = p A x = K x^{2}, E = \frac{1}{2} k (b x)^{2} = \frac{1}{2} ν R T .

$U = ν C_{V} T$ より $E / U = R / (2 C_{V}) = 1 / 5$ ．体積仕事だけの準静的過程，外圧0，伸びと気体長の比例，比熱一定が条件である．

$W = Δ E$ だから $Q = Δ U + Δ E = ν (C_{V} + R / 2) Δ T = 3 ν R Δ T$ ．したがって

Δ T = \frac{Q}{3 ν R}, x_{0} = \sqrt{\frac{ν R T_{0}}{K}}, Δ x = x_{0} (\sqrt{1 + \frac{Q}{3 ν R T_{0}}} - 1) .

温度の式は比熱一定なら厳密． $Q / (3 ν R T_{0})$ が1より十分小さいと $Δ x ≃ x_{0} Q / (6 ν R T_{0})$ ．今回は $T_{f} / T_{0} = 1.04$ ， $x_{f} / x_{0} = \sqrt{1.04} ≃ 1.0198$ ．長さ増加の近似 $0.0200 x_{0}$ は約1 %大きい． $Δ E = Q / 6$ より6分の1がばね，6分の5が気体に残る．

$C_{eff} = 3 ν R$ は $k$ に依らない．硬いばねほど $x$ は小さいが，同温の $K x^{2}$ は同じ．定積の $ν C_{V}$ と定圧の $ν C_{p}$ の中間である．

固定小室がある装置でも $p A = K x$ ． $ν R T = K x (V_{d} + A x) / A$ を $x$ で微分すると

\frac{d T}{d x} = \frac{K (V_{d} + 2 A x)}{A ν R}, C_{eff} = ν C_{V} + \frac{d E}{d T} = ν C_{V} + ν R \frac{A x}{V_{d} + 2 A x} .

固定した温度での長さは

x = \frac{\sqrt{V_{d}^{2} + 4 A^{2} ν R T / K} - V_{d}}{2 A} .

$k$ を増すと $x$ が減り，仕事の割合と熱容量は減る． $k \to \infty$ で $C_{eff} \to ν C_{V}$ ， $k \to 0$ で $C_{eff} \to ν (C_{V} + R / 2)$ ．後者では長さが発散し，実機の可動範囲を超える． $V_{d} = 0$ なら硬いばねでも相対的な体積変化が残り，定積の熱容量には近づかない．