東大後期の過去問を発展させる（3） | 問いから始める物理

総合演習 9

東京大 1999 後期（改題） ★★★★☆

摩擦で振動する板の熱はどこから来るか

質量 $M$ の薄い一様な板を，接触点 $x = - ℓ, ℓ$ の2個のローラーで水平に支えます．重心位置を $x$ ，左・右の動摩擦係数を $a = μ_{L}^{'}, b = μ_{R}^{'}$ とします．ローラー上面の速度は左が $+ u$ ，右が $- u$ で，モーターが保ちます．板は長く，厚さによる摩擦力のモーメントと鉛直運動を無視します．重力加速度は $g$ です．

支持力，合力，平衡位置 $x_{e}$ と角振動数 $ω$ を求めよ． $x_{e} + A$ から静かに放した板が両ローラーに接し，滑りの向きが変わらない条件を示せ．
$g = 9.8 m s^{- 2}$ で次の丸めた測定値を得ました． $T^{2}$ と $ℓ$ の直線化から $a, b$ を推定せよ．

$ℓ$ （ $m$ ）	周期 $T$ （ $s$ ）	$x_{e}$ （ $m$ ）
0.20	1.80	-0.040
0.30	2.20	-0.060
0.40	2.54	-0.080

板の速度を $v$ として，各接触部の発熱率とモーターの供給仕事率を求め，1周期の仕事と熱を比べよ．
振幅 $A$ を固定して発熱を抑えたい． $M = 2.0 kg, ℓ = 0.30 m, a = 0.20, b = 0.30, A = 0.040 m, g = 9.8 m s^{- 2}$ とする．滑りの向きを保つ $u$ の下限と平均供給仕事率の下限を求めよ．下限を実現できるかも述べよ．

**［図：板を支える2個のローラー］**
質量Mの板の重心位置はx，ローラーの接触点は−ℓとℓである．左の摩擦係数はa＝μ′L，右はb＝μ′Rで，上面速度はそれぞれ＋u，−u．各ローラーはモーターで駆動される．

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考え方

薄板のつり合いから支持力を決め，駆動の仕事を含める．

$N_{L} + N_{R} = M g$ ， $ℓ (N_{R} - N_{L}) = M g x$ より

N_{L} = \frac{M g}{2} (1 - \frac{x}{ℓ}), N_{R} = \frac{M g}{2} (1 + \frac{x}{ℓ}) .

$v$ が $- u, u$ の間なら，左の摩擦は右向き，右は左向きである．従って

M \frac{d^{2} x}{d t^{2}} = a N_{L} - b N_{R} = \frac{M g}{2} [a - b - \frac{a + b}{ℓ} x] = - M ω^{2} (x - x_{e}), x_{e} = \frac{ℓ (a - b)}{a + b}, ω^{2} = \frac{g (a + b)}{2 ℓ} .

初期条件から $x = x_{e} + A \cos ω t$ ， $v = - A ω \sin ω t$ ．条件は $A < ℓ - | x_{e} |$ と $A ω < u$ である．

$T^{2} = 8 π^{2} ℓ / [g (a + b)]$ ．最初と最後の点の傾きは $({2.54}^{2} - {1.80}^{2}) / 0.20 = 16.1 s^{2} m^{- 1}$ なので $a + b ≃ 0.50$ ．全点で $x_{e} / ℓ = - 0.20 = (a - b) / (a + b)$ だから $a ≃ 0.20, b ≃ 0.30$ ．中間点も一致する．
滑り速度から

P_{h, L} = a N_{L} (u - v), P_{h, R} = b N_{R} (u + v), P_{m} = u (a N_{L} + b N_{R}) .

合計を $P_{h}$ とすると， $P_{m} - P_{h} = (a N_{L} - b N_{R}) v = \frac{d}{d t} (M v^{2} / 2)$ ．1周期の板への仕事は0である． $⟨ x ⟩ = x_{e}$ より $a ⟨ N_{L} ⟩ = b ⟨ N_{R} ⟩ = M g a b / (a + b)$ なので

Q_{h} = \int_{0}^{T} P_{h} d t = \int_{0}^{T} P_{m} d t = \frac{2 M g u a b}{a + b} T > 0.

熱はモーターから来る．

平均供給仕事率は $⟨ P_{m} ⟩ = 2 M g u a b / (a + b)$ と $u$ に比例する．滑りの向きには $u > A ω$ を要するので

u_{*} = A ω ≃ 0.11 m s^{- 1}, P_{*} = \frac{2 M g a b}{a + b} A ω = 0.54 W .

下限に近づけられるが，等号では最大速度の瞬間に一方の滑り速度が0になる．下限の達成は保証できない．支持力の条件も $A / (ℓ - | x_{e} |) = 0.17 < 1$ を満たす． $g / ℓ$ の次元は時間の逆二乗で，薄板近似には厚さと $ℓ$ の比が十分小さいことを要する．

総合演習 10

東京大 2000 後期（改題） ★★★★★

同じ明るさの電球は安定か

2個の同じ電球を並列にし，一定電圧 $V_{b}$ の電源へ直列抵抗 $r$ を介してつなぎます．周囲温度を $T_{0}$ ，電球の温度差を $θ_{i} = T_{i} - T_{0}$ ，抵抗を $R_{i} = R_{0} (1 + α θ_{i})$ とします．各熱容量は $C_{h}$ ，放熱率は $H θ_{i}$ です． $R_{0}, α, H, C_{h}, r$ は正で一定，電気応答は速く，電球間の熱交換は無視します．共通端子電圧を $V$ とします．

$V$ ，各発熱率，温度の方程式を求め，電源の収支を示せ．
対称な定常状態 $θ_{1} = θ_{2} = θ_{*} \geq 0$ の方程式を立てよ． $V_{b} = 24 V, r = 20 Ω, R_{0} = 10 Ω, α = 4.0 \times 10^{- 3} K^{- 1}, H = 0.020 W K^{- 1}$ で $θ_{*}$ を求めよ．
微小変化 $δ θ_{1} = δ θ_{2}$ と $δ θ_{1} = - δ θ_{2}$ の増減率を求め，安定性を判定せよ． $C_{h} = 0.10 J K^{- 1}$ で減衰時間も求めよ．
電源と $r$ を，総電流 $I_{0}$ を保つ理想電流源に置き換えます．対称な昇温と臨界電流を求め，発散を解釈せよ．初温度は $T_{0}$ です．

**［図：直列抵抗と並列につないだ2個の電球］**
電圧Vbの電源と直列抵抗rに，同じ2個の電球を並列につなぐ．電球の抵抗はR1，R2，温度はT1，T2，共通端子電圧はVである．周囲温度T0へHθ1，Hθ2の割合で放熱する．

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考え方

電気応答が速い模型で熱収支を線形化し，温度の和と差を分ける．

$I = V (1 / R_{1} + 1 / R_{2})$ ， $V_{b} = V + r I$ より

V = \frac{V_{b}}{1 + r (1 / R_{1} + 1 / R_{2})}, C_{h} \frac{d θ_{i}}{d t} = \frac{V^{2}}{R_{i}} - H θ_{i} .

電源の仕事率は $V_{b} I = r I^{2} + V^{2} / R_{1} + V^{2} / R_{2}$ である．

$R_{*} = R_{0} (1 + α θ_{*})$ とおけば

\frac{V_{b}^{2} R_{*}}{{(R_{*} + 2 r)}^{2}} = H θ_{*} .

数値は $θ_{*} ≃ 1.5 \times 10^{2} K$ ．以下は未丸めの値と $V_{*} = V_{b} R_{*} / (R_{*} + 2 r)$ を使う．

共通モードでは $P (R) = V_{b}^{2} R / {(R + 2 r)}^{2}$ を微分する．差では抵抗逆数の変化が相殺し， $δ V = 0$ ． $δ θ \propto e^{s t}$ の率は

s_{c} = \frac{1}{C_{h}} [\frac{α R_{0} V_{b}^{2} (2 r - R_{*})}{{(R_{*} + 2 r)}^{3}} - H], s_{d} = \frac{1}{C_{h}} [- \frac{α R_{0} V_{*}^{2}}{R_{*}^{2}} - H] .

数値は $s_{c} = - 0.168 s^{- 1}, s_{d} = - 0.274 s^{- 1}$ ，両モードは安定で，減衰時間 $- 1 / s$ は $6.0 s, 3.7 s$ ．

対称なら各電流は $I_{0} / 2$ ． $P_{0} = I_{0}^{2} R_{0} / 4$ ， $B = H - α P_{0}$ とすると

C_{h} \frac{d θ}{d t} = P_{0} - B θ, θ = \frac{P_{0}}{B} (1 - e^{- B t / C_{h}}) (B \neq 0) .

$B = 0$ では $θ = P_{0} t / C_{h}$ ．有限の定常温度は $B > 0$ のときだけで， $I_{c} = 2 \sqrt{H / (α R_{0})} = 1.4 A$ ． $I_{0} > I_{c}$ では指数的に増温する．実際には放射，抵抗の非線形性，融解が模型を変える．線形化には $α | δ θ | / (1 + α θ_{*})$ が十分小さく，電気応答時間と熱応答時間の比も十分小さいことを要する．

総合演習 11

東京大 1999 後期（改題） ★★★★☆

電子捕獲の反跳が特性線を広げる

原子番号18，質量数37の模型原子 X が，内殻電子を捕獲して娘原子 Y とニュートリノを作ります．X は静止し，ニュートリノは質量0，娘原子の質量は $M$ とします．電子配置を固定したとき，ニュートリノと反跳に分かれるエネルギーは $Q$ です．娘原子が止まる前に，電子が $n = 2$ から空席の $n = 1$ へ移り光子を出します．自然幅は無視します．

有効核電荷を $z e = (Z_{Y} - 1) e$ とし，ボーア模型の準位を $E_{n} = - E_{H} z^{2} / n^{2}$ ， $E_{H} = 13.6 eV$ とします． $M c^{2} = 37 \times 931.5 MeV, Q = 0.75 MeV, h c = 1.24 \times 10^{3} eV nm$ ， $1 MeV = 10^{6} eV$ を用います．

Y の原子番号・質量数，準位差 $Δ E$ ，反跳を無視した光子の波長を求めよ．
ニュートリノのエネルギー $E_{ν}$ と娘原子の反跳を， $Q / (M c^{2})$ の必要な次数まで求めよ．
捕獲直後の娘原子の速度を $w$ ，光子の単位方向を $n$ ，両者の角を $θ$ とします．保存則から光子エネルギー $E_{γ}$ を求め，最大値と最小値の差を求めよ．
分光器のエネルギー分解能が $0.010 eV$ なら，反跳補正と線の広がりのどちらを見分けられるか．近似の適用条件も述べよ．

**［図：電子捕獲と娘原子からの光子放出］**
静止したXの電子捕獲で，ニュートリノと娘原子Yが反対向きに動く．下段は娘原子が止まる前の電子遷移で，捕獲直後の娘原子の速度wと光子の単位方向nのなす角θを示す．

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考え方

捕獲と遷移を分け，娘原子は非相対論的，ニュートリノと光子は $E = p c$ とする．

陽子が電子を捕獲して中性子になり $Z_{Y} = 17, A_{Y} = 37, z = 16$ ．従って $Δ E = E_{2} - E_{1} = 3 E_{H} 16^{2} / 4 = 2.61 \times 10^{3} eV$ ， $λ = h c / Δ E = 0.475 nm$ ．有効核電荷は遮蔽を定数にまとめた仮定である．
娘原子とニュートリノの運動量は反対向きで，大きさは $p = E_{ν} / c$ ．従って

Q = E_{ν} + \frac{E_{ν}^{2}}{2 M c^{2}}, E_{ν} ≃ Q - \frac{Q^{2}}{2 M c^{2}} .

2次項に $E_{ν} ≃ Q$ を代入した．反跳は $K_{ν} ≃ Q^{2} / (2 M c^{2}) = 8.2 eV$ ， $w / c = E_{ν} / (M c^{2}) ≃ 2.2 \times 10^{- 5}$ ． $Q$ は後の遷移を含まない．

放出後の運動量は $M w - (E_{γ} / c) n$ ．慣性質量の変化を無視すると

Δ E + \frac{1}{2} M w^{2} = E_{γ} + \frac{{| M w - (E_{γ} / c) n |}^{2}}{2 M}, Δ E = E_{γ} (1 - \frac{w}{c} \cos θ) + \frac{E_{γ}^{2}}{2 M c^{2}} .

補正項に $E_{γ} ≃ Δ E$ を入れれば

E_{γ} ≃ Δ E - \frac{Δ E^{2}}{2 M c^{2}} + Δ E \frac{w}{c} \cos θ .

前方放出が最大，後方が最小で，差は $2 Δ E Q / (M c^{2}) = 0.11 eV$ ．静止原子からの光子の反跳補正は $Δ E^{2} / (2 M c^{2}) = 9.9 \times 10^{- 5} eV$ である．

反跳補正は分解能より小さく，幅は分解能より大きい．他の広がりを無視すれば，幅を見分けられる．補正は $Δ E / (M c^{2})$ ，幅はより大きい $Q / (M c^{2})$ で決まる．両量と $w / c$ が十分小さいことが近似条件である．

総合演習 12

東京大 2003 後期（改題） ★★★★★

気体が支える電極の限界電圧

平行板コンデンサーの上側電極を断面積 $S$ の気密ピストンにします．電極間隔を $d$ ，封入理想気体の体積を $S d$ ，外圧を $p_{e}$ 一定とします．ピストンの重さ，摩擦，端の場，装置の熱容量を無視します．気体の誘電率を $ε_{0}$ と近似し，容量は $C = ε_{0} S / d$ ．初め電圧0で $d = d_{0}$ ，気体は $p_{e}, T_{0}$ です．電圧をゆっくり増し，接触・絶縁破壊は除きます．

電圧一定での引力を，電源の仕事を含めて導け．
気体を $T_{0}$ に保ちます． $y = d / d_{0}, β = ε_{0} V^{2} / (2 p_{e} d_{0}^{2})$ でつり合いを表し，安定な間隔と限界電圧を求めよ．変位も等温です．
$y = 0.80$ までの圧縮で，放出熱，電場エネルギー，電源の仕事 $\int V d Q$ を $p_{e} S d_{0}$ を単位として求め，収支を確かめよ．
同じ初状態から可逆断熱で圧縮します． $1 < γ < 2$ で限界間隔・電圧を導き， $γ = 5 / 3$ で等温の限界電圧との比と限界温度を求めよ．

**［図：気体を封じた可動電極と電源］**
断面積Sの上側電極は気密ピストンで，下側電極は固定される．外圧はpe，電極間隔はd，気体の体積はSd，誘電率はε0である．電圧Vの電源と，等温操作で接触する温度T0の熱源を示す．

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考え方

電源を含めて力を求め，圧力と引力の間隔依存を競わせる．

電圧一定なら $U = C V^{2} / 2, d Q = V d C$ ，電源の仕事 $V d Q = V^{2} d C$ の半分が場の増分 $d U$ ，残りが電気力の仕事なので

F_{d} d d = V d Q - d U = \frac{1}{2} V^{2} d C, F_{d} = - \frac{ε_{0} S V^{2}}{2 d^{2}} .

等温の $p = p_{e} / y$ から外向き合力とつり合いは

F = p_{e} S (\frac{1}{y} - 1 - \frac{β}{y^{2}}), y^{2} - y + β = 0.

つり合いで $\frac{\partial F}{\partial d} = p_{e} S (1 - 2 y) / (d_{0} y^{2})$ ．安定な枝は $y = (1 + \sqrt{1 - 4 β}) / 2 > 1 / 2$ ，小さい根は不安定．限界は $β_{c} = 1 / 4, d_{c} = d_{0} / 2, V_{c} = d_{0} \sqrt{p_{e} / (2 ε_{0})}$ ．限界を超すとつり合いはない．

$E_{0} = p_{e} S d_{0}$ とおく．気体の内部エネルギー変化0より，放出熱は気体への仕事 $- \int p S d d = - E_{0} \ln y$ ，有効数字2桁では $0.22 E_{0}$ ． $β = y - y^{2}$ を用いると

U = \frac{1}{2} C V^{2} = E_{0} \frac{β}{y} = E_{0} (1 - y) = 0.20 E_{0} .

$Q = S \sqrt{2 ε_{0} p_{e}} \sqrt{(1 - y) / y}$ ， $V = d_{0} \sqrt{2 p_{e} / ε_{0}} \sqrt{y (1 - y)}$ から $V d Q = - E_{0} d y / y$ ．従って

W_{s} = - E_{0} \int_{1}^{0.80} \frac{d y}{y} ≃ 0.22 E_{0} .

外圧の仕事 $W_{ext} = E_{0} (1 - y) = 0.20 E_{0}$ を含め， $W_{s} + W_{ext} = Δ U + Q_{out}$ と一致する．

断熱では $p = p_{e} y^{- γ}$ なので $β = y^{2 - γ} - y^{2}$ ．初状態の安定な枝はこの関数の極大までである．

\frac{d β}{d y} = (2 - γ) y^{1 - γ} - 2 y = 0, y_{c} = {(\frac{2 - γ}{2})}^{1 / γ}, β_{c} = \frac{γ}{2} y_{c}^{2 - γ} .

固定電圧で合力を微分し，つり合い条件を入れると $\frac{\partial F}{\partial d} = (p_{e} S / d_{0}) [(2 - γ) y^{- γ - 1} - 2 / y]$ で， $y > y_{c}$ なら負．限界電圧は $d_{0} \sqrt{2 p_{e} β_{c} / ε_{0}}$ ． $γ = 5 / 3$ では $y_{c} = 0.341, β_{c} = 0.582$ ，電圧比は $\sqrt{0.582 / 0.25} = 1.53$ ， $T_{c} / T_{0} = y_{c}^{1 - γ} = 2.05$ ． $γ \to 1$ で等温に戻る．圧力一様には音の横断時間と操作時間の比，断熱には操作時間と熱漏れ時間の比，端の場の無視には $d / \sqrt{S}$ が十分小さいことを要する．