波と音

波動方程式と音の速さ

著者：柚木芹香

問い

遠くで稲妻が光り，3秒ほどたってからゴロゴロと雷鳴が聞こえました．光はほとんど一瞬で届くので，遅れは音が伝わるのにかかった時間です．では，1 km 先の空気が押し流されて耳元まで運ばれてきたのでしょうか．もしそうなら，耳元には秒速 300 m を超える猛烈な風が吹くはずです．音として伝わってくるのはいったい何で，その速さは何で決まるのでしょうか．

ここから波の章に入ります．第24章のマクスウェル方程式からは，電荷も電流もない所を場の変化が自分で伝わる解，つまり電磁波が出てきます．その前にこの章では，目で見え耳で聞こえる弦・空気・水面の波で波を語る言葉を作り，第26章（電磁波）と第27章（光）でそのまま使います．題材は，波動方程式（この題材），重ね合わせとうなり，反射とモード，倍音，分散とエネルギーの5つです．（発展）と付いた所（3次元の波，波が運ぶ運動量）は飛ばしても後が読めます．入試の範囲を先に固めたいなら，各題材の本体と例題を読み，数学の節の導出は後回しにしてかまいません．

ポイント第25章で使う記号

記号	意味
$y, ξ$	媒質の変位（弦などの横の変位は $y$ ，音の縦の変位は $ξ$ ）
$A$	振幅
$λ, k = 2 π / λ$	波長，波数
$T, f, ω = 2 π f$	周期，振動数，角振動数
$v, v_{g}$	波の速さ（位相速度），群速度
$S, μ$	弦の張力，弦の線密度（単位 $kg m^{- 1}$ ）
$ρ, p, δ p$	媒質の密度，平衡の圧力，圧力のずれ
$γ$	比熱比
$I$	音（波）の強さ（単位 $W m^{- 2}$ ）

この章では張力を $S$ と書き，周期の $T$ と区別します． $T$ は音速の式でだけ絶対温度に使います． $λ$ は第20章の線電荷密度ではなく波長， $μ$ は透磁率ではなく線密度です．正弦波は $y = A \sin (ω t - k x)$ を標準の形にします．

考えてみる

素直に考えると，音は空気が流れて運ぶものに思えます．けれど，スピーカーの前に置いたろうそくの炎は，大きな音でも少し震えるだけで吹き流されません．空気は行き来しているだけで，どこかへ流れてはいないのです．

伝わっているのは「押し縮められた状態」です．押された空気が隣の空気を押し，それがまた隣を押して，状態が次々に受け渡されます．第7章の連成振動で，おもりをばねでつないだ列の端を揺らしたときと同じです．そうだとすると，伝わる速さは「隣を押す強さ」と「押される側の重さ」で決まるはずです．これを式にしてみます．

波は形が伝わる

定義波，横波と縦波

媒質のある所に生じた変形（変位）が，媒質を次々に伝わっていく現象を波という．媒質の各部分はもとの位置のまわりを行き来するだけで，運ばれていくのは変形の形とエネルギーである．
媒質の変位が波の進む向きに垂直な波を横波（弦の波），平行な波を縦波（音）という．縦波では媒質の詰まった所（密部）とまばらな所（疎部）が交互に並んで進む．

ばねの列から波動方程式へ

質量 $m$ のおもりを，ばね定数 $K$ のばねで間隔 $a$ ごとにつないだ長い列を考えます（ばね定数を $K$ と書くのは，波数の $k$ と区別するためです）． $n$ 番目のおもりのつり合いの位置からの変位を $y_{n}$ とすると，両隣のばねから受ける力を足して，運動方程式は

m \frac{d^{2} y_{n}}{d t^{2}} = K (y_{n + 1} - y_{n}) - K (y_{n} - y_{n - 1}) = K (y_{n + 1} - 2 y_{n} + y_{n - 1})

です．第7章ではおもりが $N$ 個の基準振動を調べました．ここでは，変位がおもりからおもりへゆっくり変わる場合を考えます．

［図：ばねの列から連続な媒質へ］

初期状態は13個のおもりが左右に変位し，詰まった部分が右へ進む長波長の模式図．下の曲線は同じ変位yを縦軸に描いたもの．時刻を動かすと左端の振動と圧縮の伝わり方が分かる．個数を増やすと間隔aが小さくなり，点が曲線y(x,t)に近づく．

つり合いの位置 $x = n a$ の関数として変位 $y (x, t)$ を考え， $y_{n \pm 1} = y (x \pm a, t)$ をテイラー展開すると， $y (x \pm a) \approx y \pm a \partial y / \partial x + \frac{1}{2} a^{2} \partial^{2} y / \partial x^{2}$ なので， $y_{n + 1} - 2 y_{n} + y_{n - 1} \approx a^{2} \partial^{2} y / \partial x^{2}$ です（変数が2つあるので，片方を止めて微分する偏微分を使いました．数学の節）．運動方程式は

m \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} = K a^{2} \frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}, つまり \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} = v^{2} \frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}, v = a \sqrt{\frac{K}{m}}

になります．捨てた項の割合は間隔と波長の比の2乗程度なので，この式は波長が間隔 $a$ よりずっと長いときに成り立ちます．波長が $a$ に近づくと速さが波長によって変わり（分散），ある振動数より上では波が伝わらなくなります（第5題材）．

法則 1次元の波動方程式

\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} = v^{2} \frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}

左辺は媒質の加速度，右辺は曲がり具合に比例する復元力を表す． $v$ が波の速さになる．

弦を伝わる横波

張力 $S$ ，線密度 $μ$ の弦が $x$ 軸に沿って張られ，小さく横に振れているとします． $x$ から $x + d x$ の小さな部分は，両端で張力に引かれます．弦の傾き $\partial y / \partial x$ が1よりずっと小さければ，張力の大きさは $S$ のままで，横向きの成分は $S \partial y / \partial x$ です．両端の差が合力なので

μ d x \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} = S \frac{\partial y}{\partial x} (x + d x) - S \frac{\partial y}{\partial x} (x) = S \frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}} d x

となり，波動方程式で $v = \sqrt{S / μ}$ です．張力が大きいほど速く，弦が重いほど遅くなります．

**［図：弦の両端の傾きと張力の合力］**
青い弦の部分はxからx+dxまで．張力Sは両端から外向きの接線方向に働く．この形では左端のy方向の成分は下向き，右端では上向きで，右端の傾きが大きいため合力は上向きになる．

音の波動方程式と音速

断面積が一様な管の中の空気を考え，つり合いの位置 $x$ にあった空気の薄い層の変位を $ξ (x, t)$ とします．厚さ $d x$ の層は，両面が $ξ (x)$ と $ξ (x + d x)$ だけずれるので，厚さが $(1 + \partial ξ / \partial x) d x$ になります．体積の変化の割合は $\partial ξ / \partial x$ で，質量は変わらないので密度のずれは $δ ρ / ρ = - \partial ξ / \partial x$ です．

**［図：空気層の変位と両面の圧力］**
上は平衡の厚さdxの空気層，下は両面がξ(x)，ξ(x+dx)だけ右へずれた同じ層．破線は平衡位置を示す．図の例では左面の変位が大きく，層が薄くなる．圧力p+δpは左面を右へ，右面を左へ押す．

音の圧縮は速いので，熱が出入りする暇がなく，断熱変化（第16章）とみなせます． $p V^{γ}$ が一定なので $δ p / p = - γ δ V / V$ で，

δ p = - γ p \frac{\partial ξ}{\partial x}

です．層の両面の圧力の差が層を動かすので，単位断面積あたり $ρ d x \partial^{2} ξ / \partial t^{2} = - \partial δ p / \partial x d x$ で，これに代入すると

\frac{\partial^{2} ξ}{\partial t^{2}} = \frac{γ p}{ρ} \frac{\partial^{2} ξ}{\partial x^{2}}, v = \sqrt{\frac{γ p}{ρ}} = \sqrt{\frac{γ R T}{M_{mol}}}

を得ます．2つ目の形は理想気体の $p = ρ R T / M_{mol}$ （ $M_{mol}$ はモル質量）を使いました．

空気（ $γ = 1.40$ ， $M_{mol} = 2.90 \times 10^{- 2} kg {mol}^{- 1}$ ）で $T = 293 K$ なら， $v = \sqrt{1.40 \times 8.31 \times 293 / 0.0290} m s^{- 1} \approx 343 m s^{- 1}$ です．音速は圧力にはよらず，絶対温度の平方根に比例します．

ニュートンは圧縮が等温だとして $v = \sqrt{p / ρ}$ を出し，測定より約15 % 小さい値を得ました．しかし $1 kHz$ の音の半周期の間に熱が拡散で届く距離（ $\sqrt{D t} \approx 0.1 mm$ ， $D$ は熱拡散率，第18章）は，密部と疎部の距離（半波長，約 $17 cm$ ）よりはるかに短く，熱は間に合わないので変化は断熱です．

$δ p = - γ p \partial ξ / \partial x$ から，変位が0で傾きが最大の所で圧力のずれが最大になり，変位が最大の所では0です．この「変位の節が圧力の腹」という関係は，第3題材の気柱で使います．

進む波の形

波動方程式は，どんな形の関数 $F$ についても $y = F (x - v t)$ を解にもちます（代入して確かめるのは数学の節）．時刻 $t$ の波形は時刻0の波形を $v t$ だけ右へずらしたもので，形を保ったまま速さ $v$ で右へ進む波です．同じように $G (x + v t)$ は左へ進む波で，一般の解はこの2つの和です．

［図：形が進み，媒質の点は上下に動く］

初期状態ではパルスが時刻0の破線から右へずれ，橙の印は同じ位置xに留まる．時刻tを動かすと，F(x−vt)の形が保たれたまま右へ進み，橙の印は上下だけに動く．再生は右端まで進むと止まる．

公式正弦波

y = A \sin (ω t - k x), k = \frac{2 π}{λ}, ω = \frac{2 π}{T} = 2 π f, v = f λ = \frac{ω}{k}

$ω t - k x$ を位相という．入試で使う $y = A \sin 2 π (\frac{t}{T} - \frac{x}{λ})$ と同じものである．

$\sin (ω t - k x) = - \sin (k (x - v t))$ なので，これは $F (x - v t)$ の形です．交流（第23章）と同じく， $A e^{i (ω t - k x)}$ の実部と考えて計算してもかまいません．媒質の速度 $\partial y / \partial t = A ω \cos (ω t - k x)$ の最大値 $A ω$ と波の速さ $v$ は別のもので，比 $A ω / v = A k$ は弦の傾きの最大値です．小振幅の近似では，これが1よりずっと小さいとしています．

3次元の波（発展）

四方に広がる音の圧力のずれ $δ p$ は，3次元の波動方程式

\frac{\partial^{2} (δ p)}{\partial t^{2}} = v^{2} \nabla^{2} (δ p), \nabla^{2} = \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}

を満たします（ $\nabla^{2}$ は第20章の電位で出てきたラプラシアン）．点音源から出る球面波は $δ p = F (r - v t) / r$ （ $r$ は音源からの距離）の形で，振幅が $1 / r$ で減ります．

波が運ぶエネルギーと音の強さ

媒質は流れていかなくても，エネルギーは運ばれます．音の進む向きに垂直な単位面積を考えると，左側の空気は右側の空気を圧力のずれ $δ p$ で押しながら速度 $\partial ξ / \partial t$ で動かすので，単位時間に $δ p \partial ξ / \partial t$ の仕事を渡します．右へ進む波 $ξ = F (x - v t)$ では $\partial ξ / \partial x = - \frac{1}{v} \partial ξ / \partial t$ なので，これは $ρ v {(\partial ξ / \partial t)}^{2}$ です．正弦波 $ξ = A \sin (ω t - k x)$ で時間平均をとります（ $\cos^{2}$ の平均は $1 / 2$ ）．

公式音の強さ

単位時間に単位面積を通るエネルギーを強さという．正弦波の音では

I = \frac{1}{2} ρ v ω^{2} A^{2} = \frac{p_{A}^{2}}{2 ρ v}, p_{A} = ρ v ω A

で， $p_{A}$ は圧力のずれの振幅である．強さは振幅の2乗と振動数の2乗に比例する．

人の耳は $10^{- 12} W m^{- 2}$ ほどから $1 W m^{- 2}$ ほどまで，12けたにわたる強さを聞き分けるので，強さを対数で表します．

定義音の強さのレベル（デシベル）

L = 10 \log_{10} \frac{I}{I_{0}} dB, I_{0} = 1.0 \times 10^{- 12} W m^{- 2}

強さが10倍になると $10 dB$ ，2倍になると約 $3 dB$ 上がる．

吸収も反射もなく四方へ一様に広がる音源なら，出力 $P$ は半径 $r$ の球面全体を通るので $P = 4 π r^{2} I$ で，強さは $1 / r^{2}$ で減ります．距離が10倍になるとレベルは $20 dB$ 下がります．

ここまでの式は，弦の傾き $| \partial y / \partial x |$ ，音の $| \partial ξ / \partial x |$ と $| δ p | / p$ （会話の音で $10^{- 7}$ 程度）が1よりずっと小さいとして，2乗以上を捨てた近似です．爆発のすぐ近くのように圧力のずれが大気圧に迫ると，密部ほど音速が速くなって波形が崩れ，衝撃波になります．

問いに戻る

雷鳴として届いたのは空気そのものではなく，押し縮められた状態です．その速さ $v = \sqrt{γ p / ρ}$ は「押し返す強さ」 $γ p$ と「慣性」 $ρ$ で決まり，常温で約 $340 m s^{- 1}$ なので，3秒の遅れなら雷は約 $1 km$ 先です．

空気の動きも見積もれます．1 km 先で $100 dB$ （ $I = 1.0 \times 10^{- 2} W m^{- 2}$ ）の雷鳴なら， $ρ = 1.2 kg m^{- 3}$ ， $v = 343 m s^{- 1}$ として $p_{A} = \sqrt{2 ρ v I} \approx 3 Pa$ で，空気の速さの振幅は $p_{A} / (ρ v) \approx 7 \times 10^{- 3} m s^{- 1}$ ，振動数 $100 Hz$ なら変位の振幅は約 $1 \times 10^{- 5} m$ です．耳元の空気は 0.01 mm ほど行き来するだけで，暴風は吹きません．

ポイントここまでのまとめ

波では媒質は行き来するだけで，運ばれるのは形とエネルギーである．
ばねの列で間隔を小さくした極限から波動方程式 $\partial^{2} y / \partial t^{2} = v^{2} \partial^{2} y / \partial x^{2}$ が出る．弦では $v = \sqrt{S / μ}$ ．
音は断熱的な圧縮が伝わる縦波で， $v = \sqrt{γ p / ρ} = \sqrt{γ R T / M_{mol}}$ ， $δ p = - γ p \partial ξ / \partial x$ ．変位の節が圧力の腹．
$F (x - v t)$ は右へ進む波．正弦波 $y = A \sin (ω t - k x)$ ， $v = f λ = ω / k$ ．
音の強さ $I = \frac{1}{2} ρ v ω^{2} A^{2} = p_{A}^{2} / (2 ρ v)$ ，レベル $L = 10 \log_{10} (I / I_{0}) dB$ ．
どれも小振幅（傾きや $| δ p | / p$ が1よりずっと小さい）の近似である．