波と音

波動方程式と音の伝わり方の演習

著者：柚木芹香

波形の移動と媒質の運動を区別し，線形近似の条件も確かめましょう．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

右へ進む弦の正弦波は，時刻0に原点を右下がりに横切り，最初の谷は $x = 0.20 m$ ，次の山は $x = 0.60 m$ にあります．振幅は $A = 2.0 \times 10^{- 3} m$ です．線密度は $μ = 5.0 \times 10^{- 3} kg m^{- 1}$ です．原点が次に上向きに0を横切る時刻は $0.040 s$ です．

波長，周期，振動数，波の速さ，張力を求めよ．
波の式を書き，時刻0の $x = 0.10 m$ における媒質の速度と加速度の向きを求めよ．

**［図：時刻0の波形と原点の観測時刻］**
振幅A，谷の位置0.20 m，山の位置0.60 mと右向きの進行を示す．原点では時刻0と0.040 sの上向きの零交差だけを示す．

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考え方 谷から山までが半波長であり，媒質の運動は時間微分する．

$λ = 2 (0.60 - 0.20) m = 0.80 m$ ， $T = 0.040 s$ ．よって $f = 1 / T = 25 Hz$ ， $v = λ / T = 20 m s^{- 1}$ ． $v^{2} = S / μ$ より $S = μ v^{2} = 2.0 N$ である．
$ω = 2 π / T$ ， $k = 2 π / λ$ とすれば $y = A \sin (ω t - k x)$ である．速度は $\frac{\partial y}{\partial t} = A ω \cos (ω t - k x)$ ，加速度は $\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} = - ω^{2} y$ ．指定点では位相が $- π / 4$ で，変位は負，余弦は正だから速度も加速度も上向きである．最大傾き $A k = 0.016$ は十分小さく，弦の小振幅近似と整合する．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

空気中を $ξ = A \sin (ω t - k x)$ の平面音波が進みます． $A = 2.0 \times 10^{- 6} m$ ， $f = 5.0 \times 10^{2} Hz$ ， $v = 3.4 \times 10^{2} m s^{- 1}$ ，平衡圧力 $p = 1.0 \times 10^{5} Pa$ ，比熱比 $γ = 1.4$ とします．平衡時の密度を $ρ$ とし，右向きを正とします． $δ p = - γ p \frac{\partial ξ}{\partial x}$ を使えます．

質量保存から密度のずれ $δ ρ$ と変位の関係を導け．時刻0の1波長内の密部・疎部を求めよ．
圧力のずれと媒質の速度を求め，密部の変位と速度の向きを答えよ．

**［図：音波の初期変位と正方向］**
与えられた式による時刻0のξとxのグラフを1波長分示す．粒子の変位は右向きを正とする．

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考え方 疎密は粒子間隔の変化で決まる．

平衡時の長さ $d x$ は $(1 + \partial ξ / \partial x) d x$ になる．質量保存から $(ρ + δ ρ) (1 + \partial ξ / \partial x) = ρ$ ．小さい量の積を捨てると $δ ρ / ρ = - \frac{\partial ξ}{\partial x} = A k \cos (ω t - k x)$ ． $λ = v / f = 0.68 m$ なので， $0 \leq x < λ$ では密部は $x = 0$ ，疎部は $x = λ / 2 = 0.34 m$ である．
$δ p = γ p A k \cos (ω t - k x)$ ， $\frac{\partial ξ}{\partial t} = A ω \cos (ω t - k x)$ ． $k = 2 π / λ$ より圧力振幅は $2.6 Pa$ ，速度振幅は $6.3 \times 10^{- 3} m s^{- 1}$ ．時刻0の密部では変位0で，速度は右向きである． $A k = 1.8 \times 10^{- 5}$ と $| δ p | / p \leq 2.6 \times 10^{- 5}$ はともに小さく，線形化は妥当である．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

管内の距離 $d = 3.40 m$ を短い音が伝わる時間を測りました．反射と装置の遅延は除いています． $v^{2} = γ R T / M_{mol}$ ， $R = 8.31 J {mol}^{- 1} K^{- 1}$ ， $M_{mol} = 2.90 \times 10^{- 2} kg {mol}^{- 1}$ とし， $T$ は絶対温度， $γ$ は一定です．

$T$ （ $K$ ）	伝播時間 $τ$ （ $s$ ）
$289$	$0.0100$
$361$	$0.00894$

$v^{2}$ と $T$ のグラフの形を述べ，第1点から $γ$ を求め，第2点と比較せよ．
第1点の時間が $\pm 0.0001 s$ の不確かさをもち，他は誤差なしとして， $γ$ の相対不確かさを一次近似で求めよ．

**［図：音の伝播時間を測る管］**
一様な温度Tの管内で，送信器と受信器の間隔dは3.40 mである．音は送信器から受信器へ進む．

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考え方 速さの2乗を温度と比較する．

$v = d / τ$ なので $v^{2} = (γ R / M_{mol}) T$ は原点を通る直線．第1点では $v = 340 m s^{- 1}$ ， $γ = M_{mol} d^{2} / (R T τ^{2}) = 1.40$ ．第2点の予測は $τ = 0.0100 \sqrt{289 / 361} s = 0.00895 s$ で，表との差は約 $7 \times 10^{- 6} s$ である．
$γ \propto τ^{- 2}$ より $Δ γ / γ \approx - 2 Δ τ / τ$ ．不確かさは $2 \times 0.0001 / 0.0100 = 0.020$ ，約2 %，絶対不確かさは約 $0.03$ である．この展開には $| Δ τ | / τ = 0.010$ が十分小さいことを使った．

演習 4

オリジナル ★★☆☆☆

一様な媒質中で等方的な音源から，反射・吸収なしで正弦波の音が広がります．両測定点は音源から波長に比べて十分遠く，局所的な平面進行波として扱います．距離 $r = 2.0 m$ で音の強さのレベルが $L = 80 dB$ でした． $L = 10 \log_{10} (I / I_{0}) dB$ ， $I_{0} = 1.0 \times 10^{- 12} W m^{- 2}$ とします．

強さと音響出力 $P$ を求めよ．
$r = 10 m$ でのレベルと，最初の地点に対する変位振幅の比を求めよ．

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考え方 球面に広がる出力を保存し，強さは振幅の2乗に比例する．

$I / I_{0} = 10^{80 / 10}$ より $I = 1.0 \times 10^{- 4} W m^{- 2}$ ． $P = 4 π r^{2} I = 5.0 \times 10^{- 3} W$ である．
$I^{'} / I = {(2.0 / 10)}^{2} = 0.040$ ．したがって $L^{'} = 80 dB + 10 \log_{10} (0.040) dB = 66 dB$ ．遠方近似では $A^{'} / A = \sqrt{I^{'} / I} = 0.20$ ． $4 π r^{2} I$ は距離によらない．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

長さ $l$ ，線密度 $μ$ の一様な縄を鉛直につるし，下端に質量 $m > 0$ のおもりを付けます．伸びは無視し，下端から上向きに $x$ を測ります．短い横向きのパルスの局所的な速さを $v (x) = \sqrt{S (x) / μ}$ とします．

張力 $S (x)$ を求め，下端から上端までの伝播時間を積分で求めよ．
$l = 3.00 m$ ， $μ = 0.200 kg m^{- 1}$ ， $m = 0.200 kg$ ， $g = 9.80 m s^{- 2}$ で時間を求めよ．全長を上端の速さで進む見積もりは長すぎるか．

**［図：おもりをつけた鉛直な縄］**
長さl，線密度μの縄の下端に質量mのおもりをつける．座標xは縄の下端を原点として上向きに測る．

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考え方 張力は下側の重さを支え，微小時間は $d x / v (x)$ になる．

$S (x) = (m + μ x) g$ ． $a = m / μ$ とおくと $v (x) = \sqrt{g (x + a)}$ だから

τ = \int_{0}^{l} \frac{d x}{\sqrt{g (x + a)}} = \frac{2}{\sqrt{g}} (\sqrt{l + a} - \sqrt{a})

$a = 1.00 m$ ， $τ = 2 (2 - 1) / \sqrt{9.80} s = 0.639 s$ ．上端の $v (l) = 6.26 m s^{- 1}$ より見積もりは $l / v (l) = 0.479 s$ と短すぎる． $a$ が $l$ より十分大きい極限では $τ \approx l / \sqrt{g a}$ と一定張力の結果に戻る．局所近似には小さい傾きと，パルスの幅 $d$ に対して $d / (x + a)$ の小ささが必要である．

ポイント教える人へ

波形を右へずらし，媒質の動く向きを説明させる．
粒子間隔から密部を判定し，変位最大の位置と区別させる．
測定時間を二乗して使う際の不確かさと，絶対温度を使う理由を問う．
張力が変わる縄では，微小時間を積分する理由を問う．