問い

電池と抵抗をつないで，平行板コンデンサーを充電します．導線には電流が流れ，そのまわりには第22章で調べたとおり円を描く磁場ができます．ところが，2枚の極板の間はすき間で，電流は流れていません．では，充電している間，極板のすき間のまわりにも磁場はできるのでしょうか．それとも，導線の所にだけ磁場があって，すき間の所では途切れるのでしょうか．

この章は電磁気の分野（第20章から第24章）のまとめです．第20章の初めに，電荷は場を作り，場は電荷に力を及ぼす，そして電場と磁場の法則は全部で4つにまとまる，という見取り図を示しました．第20章から第23章で，その4つを静電気，電流と磁場，電磁誘導の順に1つずつ確かめてきました．この題材では，その中で1つだけ足りなかった項（変位電流）を足し，4つの法則を積分形と微分形で並べます．次の題材「場のエネルギーとその流れ」では，場がエネルギーを持ち，そのエネルギーが空間を流れることを見ます．ここで完成した法則から，第25章で波の性質を調べたあと，第26章で電磁波を導きます．第20章から第23章で（発展）の微分形を飛ばした人は，この章でも表の微分形の列と，それを使う式変形（電荷の保存，真空の渦の式，ポインティングの定理の導き方）は結果だけを認め，積分形で先へ進んでかまいません．「（発展）」と付けた同軸ケーブルと場の運動量の節も飛ばせます．

考えてみる

第22章のアンペールの法則は，閉じた道に沿って一周した磁場の線積分が，その道を縁とする面を貫く電流の ${\mu }_0$ 倍になる，というものでした．

充電中の導線を囲む円を道に選び，面としてその円を張る平らな円板をとれば，導線が貫くので右辺は ${\mu }_{0}I$ です．ところが，同じ円を縁にしたまま，面を袋のようにふくらませて極板のすき間を通すと，面を貫く電流はありません．右辺は0です．左辺は道だけで決まる量なので，面の選び方で答えが変わるのは矛盾です．

電流が一定で，どこにも電荷がたまらない場合は，この矛盾は起きません．2つの面を合わせた閉じた面に入る電流と出る電流が等しいので，どちらの面を貫く電流も同じだからです．困るのは，極板に電荷がたまっていく所です．アンペールの法則は，定常電流についてしか確かめられていなかったのです．

変位電流

すき間には電流はありませんが，電場があり，それが増えていきます．極板の面積を $A$，正極板の電荷を $Q$ とすると，ガウスの法則から極板の間の電束は ${\mathrm{\Phi }}_E=Q/{\epsilon }_0$ です．充電電流は $I=\mathrm{d}Q/\mathrm{d}t$ なので

です．導線を貫く平らな面では電流が $I$ で電束は変わらず，すき間を通る袋の面では電流が0で ${\epsilon }_0\mathrm{d}{\mathrm{\Phi }}_E/\mathrm{d}t$ が $I$ です．電流と ${\epsilon }_0\mathrm{d}{\mathrm{\Phi }}_E/\mathrm{d}t$ の和は，どちらの面でも同じです．

これはこのコンデンサーに限りません．同じ道を縁とする2つの面で閉じた面を作ると，電荷の保存から，閉じた面から出ていく電流は中の電荷の減る速さに等しく，ガウスの法則から，閉じた面から出る電束は中の電荷の $1/{\epsilon }_0$ 倍です．2つを合わせると，閉じた面から出ていく電流と ${\epsilon }_0\mathrm{d}{\mathrm{\Phi }}_E/\mathrm{d}t$ の和はいつも0です．つまり，電流と ${\epsilon }_0\mathrm{d}{\mathrm{\Phi }}_E/\mathrm{d}t$ の和は，面の選び方によらず，縁の道だけで決まります．

変位電流は電荷の流れではありません．名前は歴史的なもので，磁場を作る点だけが電流と同じです．マクスウェルは，アンペールの法則の右辺に変位電流を足しました．

円板の極板（半径 $a$）の間で，軸を中心とする半径 $r$ の円を道にとると，極板の間の電場は一様なので，円を貫く電束は全体の $r^2/a^2$ です．軸対称性から磁場は円に沿う向きで大きさが一定なので，$r$ が $a$ より小さい所では $B={\mu }_{0}Ir/(2\pi a^2)$，$a$ より大きい所では $B={\mu }_{0}I/(2\pi r)$ となります（数学の節の例題1）．極板の外側の円では，導線のまわりと同じ磁場です．

4つの法則

これで電場と磁場の法則がそろいました．積分形の $\mathrm{\Phi }$，${\mathrm{\Phi }}_E$，$I$ は，閉じた道を縁とする止まった面についての量です．微分形は，ガウスの定理とストークスの定理で積分形を各点の式に直したもので，両者は同じことを言っています（数学の節）．

表は，第20章の見取り図で言葉で書いた4つの法則を，同じ順に式で書いたものです．1行目と2行目は場の湧き出し（電場には電荷という湧き出しがあり，磁場にはない），3行目と4行目は場の渦（電場の渦は磁場の変化が，磁場の渦は電流と電場の変化が作る）を述べています．回路が動く場合は，起電力を電荷に働く力（ローレンツ力）の一周の積分ととれば，運動起電力（第23章）も含めて磁束の法則 $\mathcal{E}=-\mathrm{d}\mathrm{\Phi }/\mathrm{d}t$ が成り立ちます．

電荷の保存は，この4つから導けます．アンペール・マクスウェルの法則の微分形の発散をとると，左辺は $\mathbf{\nabla }\mathbf{\cdot }\mathbf{\nabla }\times \mathit{B}=0$（どんな場でも0，第22章と数学の節）なので，$\mathbf{\nabla }\mathbf{\cdot }\mathit{j}+{\epsilon }_0\partial /\partial t(\mathbf{\nabla }\mathbf{\cdot }\mathit{E})=0$ です．ガウスの法則を入れると

で，第21章の連続の式になります．変位電流の項が無いと $\mathbf{\nabla }\mathbf{\cdot }\mathit{j}=0$ がいつも要求され，電荷がたまることが許されません．第22章の数学の節で，元のアンペールの法則は定常電流に限られると注意したのはこのためです．変位電流は，電荷の保存と両立させるために必要な項なのです．

場は自分で伝わる

電荷も電流も無い真空では，渦の2つの式は

となり，ほとんど対称な形になります．変化する磁場がまわりに電場を作り，変化する電場がまわりに磁場を作ります．すると，いったん場の変化が起これば，電荷から離れたところでも，場が互いを作り合いながら進んでいけるはずです．${\epsilon }_0=8.85\times {10}^{-12}\mathrm{F}{\mathrm{m}}^{-1}$，${\mu }_0=1.26\times {10}^{-6}\mathrm{H}{\mathrm{m}}^{-1}$ から $1/\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}=3.00\times {10}^8\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ で，光の速さと一致します．電荷の間の力と電流の間の力という静的な測定だけから，光の速さが出てくるのです．これが第26章の電磁波です．

準静的近似

第21章から第23章の回路では，各瞬間の電荷と電流から静的な場の式で場を求めました．これを準静的近似といいます．大きさ $L$ の装置で，場が時間 $\tau$ 程度で変わるとします．磁場 $B$ の変化がファラデーの法則で作る電場は $E\sim LB/\tau$ 程度で，その電場の変化の変位電流が作る磁場は ${\mu }_0{\epsilon }_{0}LE/\tau \sim L^{2}B/(c\tau {)}^2$ 程度です．磁場の補正の割合は ${(L/(c\tau ))}^2$ で，$L/(c\tau )$ が十分小さい，つまり光が装置を横切る時間が変化の時間よりずっと短ければ，補正を無視できます．$50\mathrm{Hz}$ の交流では $c\tau =c/\omega \approx 950\mathrm{km}$ で，部屋の中の回路はまったく問題ありません．$1\mathrm{GHz}$ では $c\tau \approx 5\mathrm{cm}$ で，手のひらほどの回路でも近似が破れ，回路は電磁波を出します．

準静的近似は，変位電流をすべて捨てることではありません．コンデンサーの極板の間の変位電流は導線の電流の続きで，小さくありません．捨てるのは，場の変化が作った場がさらに場を作る，という連鎖の2段目です．金属の中では，角振動数 $\omega$ の変化に対して変位電流と伝導電流の比は $\omega {\epsilon }_0/\gamma$ で，銅（$\gamma =6\times {10}^7\mathrm{S}{\mathrm{m}}^{-1}$）なら $1\mathrm{GHz}$ でも ${10}^{-9}$ 程度です．導体の中の変位電流はふつう無視できます．

問いに戻る

充電している間，極板のすき間のまわりにも磁場はできます．すき間では電流は流れていませんが，電場が増えていて，その変位電流 ${\epsilon }_0\mathrm{d}{\mathrm{\Phi }}_E/\mathrm{d}t$ は導線の電流 $I$ にちょうど等しいからです．極板より外側の円では，磁場は導線のまわりと同じ ${\mu }_{0}I/(2\pi r)$ で，すき間の所で途切れることはありません．

本体の節では，マクスウェル方程式を積分形と微分形の2通りで並べました．ここでは，面積分と線積分の向きの約束を確かめ，第20章のガウスの定理とストークスの定理で2つの形を行き来します．あわせて，電荷の保存を導くのに使った $\mathbf{\nabla }\mathbf{\cdot }\mathbf{\nabla }\times \mathit{F}=0$ と，$\mathbf{\nabla }\times \mathbf{\nabla }f=\mathit{0}$ をまとめます．

積分形から微分形へは次のように直します．アンペール・マクスウェルの法則の左辺をストークスの定理で面積分に直し，右辺の電流と電束も同じ面 $\mathrm{\Sigma }$ の積分で書くと

です．これがどんなに小さな面でも，どの向きの面でも成り立つので，被積分関数どうしが各点で等しく，$\mathbf{\nabla }\times \mathit{B}={\mu }_0\mathit{j}+{\mu }_0{\epsilon }_0\partial \mathit{E}/\partial t$ となります．ガウスの法則も，両辺を体積積分で書いて，どんな小さな領域でも等しいことから $\mathbf{\nabla }\mathbf{\cdot }\mathit{E}=\rho /{\epsilon }_0$ です．逆に，微分形を面や領域で積分して定理を使えば，積分形に戻ります．問題を解くときは，対称性がある場合に積分形が掛け算で済み，便利です．微分形は，各点で何が起きているかを述べ，法則どうしを組み合わせるのに向いています．

どちらも成分で書けば，偏微分の順序を入れ替えてよいので項が2つずつ打ち消し合って0になります（第20章と第22章の数学の節）．定理で見ると意味が分かります．閉じた面には縁が無いので，ストークスの定理から $\mathbf{\nabla }\times \mathit{F}$ の閉じた面全体の流束は0で，ガウスの定理からその発散も0です．勾配の循環は端点だけで決まり（第20章），閉じた道では0なので，回転も0です．前者を使うと，本体の節のように電荷の保存が導けます．同じように，ファラデーの法則の発散をとると $\partial /\partial t(\mathbf{\nabla }\mathbf{\cdot }\mathit{B})=0$ で，ある時刻に $\mathbf{\nabla }\mathbf{\cdot }\mathit{B}=0$ なら，それはずっと保たれます．

練習1　$k$ を定数として，電場 $\mathit{E}=k(x{\mathit{e}}_x+y{\mathit{e}}_y)$ の発散と回転を求め，この電場を作る電荷密度を答えよ．

練習2　$b$ を定数として，磁場 $\mathit{B}=b(-y{\mathit{e}}_x+x{\mathit{e}}_y)$ の回転を求めよ．この磁場を円筒座標の成分で表せ．電流の無い所で，この磁場が変位電流だけで作られているなら，$\partial \mathit{E}/\partial t$ はいくらか．

答え　練習1：$\mathbf{\nabla }\mathbf{\cdot }\mathit{E}=2k$，$\mathbf{\nabla }\times \mathit{E}=\mathit{0}$．電荷密度は $\rho ={\epsilon }_0\mathbf{\nabla }\mathbf{\cdot }\mathit{E}=2{\epsilon }_{0}k$ で，一様である．練習2：$x$，$y$ 成分は0で，$z$ 成分は $\partial /\partial x\left(bx\right)-\partial /\partial y(-by)=2b$ なので $\mathbf{\nabla }\times \mathit{B}=2b{\mathit{e}}_z$．$-y{\mathit{e}}_x+x{\mathit{e}}_y=r{\mathit{e}}_{\varphi }$ なので $B_{\varphi }=br$ で，軸のまわりを回り，軸から離れるほど強い．$\mathbf{\nabla }\times \mathit{B}={\mu }_0{\epsilon }_0\partial \mathit{E}/\partial t$ から $\partial \mathit{E}/\partial t=2b{c}^2{\mathit{e}}_z$．積分形でも，半径 $r$ の円で $2\pi r\cdot br={\mu }_0{\epsilon }_0\pi r^2\partial E_z/\partial t$ となり一致する．

例題

例題 1

オリジナル ★★☆☆☆

半径 $a=5.0\mathrm{cm}$ の2枚の円板を間隔 $d=2.0\mathrm{mm}$ で向かい合わせた真空のコンデンサーを，一定の電流 $I=0.50\mathrm{A}$ で充電する．正極板から負極板へ向かう向きを $+z$ とし，縁の効果は無視する．${\epsilon }_0=8.85\times {10}^{-12}\mathrm{F}{\mathrm{m}}^{-1}$，${\mu }_0=4\pi \times {10}^{-7}\mathrm{H}{\mathrm{m}}^{-1}$ とする．

1. 極板の間の電場が増える速さ $\mathrm{d}{E}_z/\mathrm{d}t$ を求めよ．

2. 極板の間の平面で，軸からの距離 $r$ の点の磁場 $B_{\varphi }$ を，$r<a$ と $r>a$ に分けて求めよ．$r=a$ での値も求めよ．

3. $r<a$ の磁場が，微分形のアンペール・マクスウェルの法則を満たすことを確かめよ．

解答を見る

考え方 極板の間の電場は一様で $E_z=Q/({\epsilon }_0\pi a^2)$．半径 $r$ の円を道にとり，円を張る平らな円板を面にすると，電流は貫かず，変位電流だけが貫く．軸対称性から $B_{\varphi }$ は円の上で一定．

1. $\mathrm{d}Q/\mathrm{d}t=I$ より

$$\frac{\mathrm{d}{E}_z}{\mathrm{d}t}=\frac{I}{{\epsilon }_0\pi a^2}=\frac{0.50}{8.85\times {10}^{-12}\times \pi \times (5.0\times {10}^{-2}{)}^2}\approx 7.2\times {10}^{12}\mathrm{V}{\mathrm{m}}^{-1}{\mathrm{s}}^{-1}$$

2. $r<a$ では円を貫く変位電流は ${\epsilon }_0\pi r^2\mathrm{d}{E}_z/\mathrm{d}t=I{r}^2/a^2$ なので，$2\pi r{B}_{\varphi }={\mu }_{0}I{r}^2/a^2$ より

$$B_{\varphi }=\frac{{\mu }_{0}Ir}{2\pi a^2}$$

$r>a$ では電場は極板の間だけにあるので変位電流は $I$ 全体で，$B_{\varphi }={\mu }_{0}I/(2\pi r)$．$r=a$ では

$$B_{\varphi }=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi a}=\frac{2.0\times {10}^{-7}\times 0.50}{5.0\times {10}^{-2}}=2.0\times {10}^{-6}\mathrm{T}$$

で，2つの式はつながる．向きは $+z$ 側から見て反時計回り．

3. $r{\mathit{e}}_{\varphi }=-y{\mathit{e}}_x+x{\mathit{e}}_y$ なので，$r<a$ の磁場は練習2で $b={\mu }_{0}I/(2\pi a^2)$ としたものである．よって $\mathbf{\nabla }\times \mathit{B}=2b{\mathit{e}}_z={\displaystyle \frac{{\mu }_{0}I}{\pi a^2}}{\mathit{e}}_z$．一方，電流の無い極板の間で右辺は ${\mu }_0{\epsilon }_0\partial \mathit{E}/\partial t={\mu }_0{\epsilon }_0{\displaystyle \frac{I}{{\epsilon }_0\pi a^2}}{\mathit{e}}_z={\displaystyle \frac{{\mu }_{0}I}{\pi a^2}}{\mathit{e}}_z$ で，一致する．

確かめ：$r=a$ の磁場は地磁気（$5\times {10}^{-5}\mathrm{T}$ 程度）の $1/25$ ほどで，小さいが測れる．$I$ が一定なら磁場は時間変化しないので，ファラデーの法則による電場の補正も生じない．縁の効果を無視するには $d/a$ が十分小さい（ここでは $0.04$）ことが要る．

例題 2

オリジナル ★★★☆☆

小さな放射性の球が，正の電荷をもつ粒子をすべての向きに同じように放出し，まわりの真空へ電荷が球対称に広がっていく．外部からの電磁場はないものとする．時刻 $t$ に，中心からの距離 $r$ の球面の内側にある電荷を $Q(r,t)$ とする．

1. この球面を外向きに通る電流 $I(r,t)$ を $Q$ で表せ．

2. 球面上の電場と，球面を外向きに通る変位電流 $I_d$ を求めよ．

3. 電流が流れているのに，どこにも磁場ができないことを示せ．

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考え方 球対称なので，電場も電流密度も半径方向で，大きさは $r$ と $t$ だけで決まる．電場は $Q$ の符号により外向きにも内向きにもなる．磁場の向きを対称性から絞り，電流と変位電流の和を調べる．

1. 電荷の保存から，球面から出ていく電流は内側の電荷の減る速さに等しく，$I=-\partial Q/\partial t$．

2. ガウスの法則から $\mathit{E}={\displaystyle \frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}}{\mathit{e}}_r$．外向きの電束は ${\mathrm{\Phi }}_E=Q/{\epsilon }_0$ なので $I_d={\epsilon }_0\partial {\mathrm{\Phi }}_E/\partial t=\partial Q/\partial t=-I$．各点でも，電流密度 $\mathit{j}={\displaystyle \frac{I}{4\pi r^2}}{\mathit{e}}_r$ と変位電流密度 ${\epsilon }_0\partial \mathit{E}/\partial t={\displaystyle \frac{1}{4\pi r^2}}\frac{\partial Q}{\partial t}{\mathit{e}}_r$ は打ち消し合い，$\mathit{j}+{\epsilon }_0\partial \mathit{E}/\partial t=\mathit{0}$ である．

3. 球面上の点で磁場が球面に沿う成分をもつとすると，その点を通る半径の線のまわりに配置を回しても何も変わらないのに，その成分の向きだけが回ってしまう．よって磁場は半径方向しか許されない．半径成分を $B_r(r,t)$ とすると，磁場のガウスの法則から $4\pi r^2{B}_r=0$ で $B_r=0$．したがって磁場は0である．アンペール・マクスウェルの法則とも整合する．球面上の小さな円を道にとり，それを縁とする球面の一部を面にとると，貫く電流と変位電流の和は0なので，循環は0である．

確かめ：変位電流の項が無いと，球面上の円の循環が ${\mu }_0$ 倍の電流の分だけ0でないことになり，(3) の対称性の議論と矛盾する．この例は，変位電流が無ければ法則そのものが矛盾することを示している．

例題 3

オリジナル ★★★☆☆

電荷も電流も無い真空で，$E_0$，$B_0$，$k$，$\omega$ を正の定数として，次の場を考える．

$$\mathit{E}=E_0\cos (kz-\omega t){\mathit{e}}_x,\mathit{B}=B_0\cos (kz-\omega t){\mathit{e}}_y$$

1. 2つのガウスの法則を満たすことを確かめよ．

2. ファラデーの法則とアンペール・マクスウェルの法則の微分形から，$B_0$ と $E_0$ の関係，$\omega$ と $k$ の関係を求めよ．

3. この場の山が進む向きと速さを求めよ．

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考え方 成分が1つで，$z$ と $t$ だけの関数なので，回転のうち残るのは $z$ で微分する項だけである．

1. $E_x$ は $x$ によらないので $\mathbf{\nabla }\mathbf{\cdot }\mathit{E}=\partial E_x/\partial x=0$．同じく $\mathbf{\nabla }\mathbf{\cdot }\mathit{B}=\partial B_y/\partial y=0$．電荷の無い真空のガウスの法則を満たす．

2. $\mathbf{\nabla }\times \mathit{E}=\frac{\partial E_x}{\partial z}{\mathit{e}}_y=-k{E}_0\sin (kz-\omega t){\mathit{e}}_y$，$-\frac{\partial \mathit{B}}{\partial t}=-\omega B_0\sin (kz-\omega t){\mathit{e}}_y$．ファラデーの法則から $k{E}_0=\omega B_0$．また $\mathbf{\nabla }\times \mathit{B}=-\frac{\partial B_y}{\partial z}{\mathit{e}}_x=k{B}_0\sin (kz-\omega t){\mathit{e}}_x$，${\displaystyle \frac{1}{c^2}}\frac{\partial \mathit{E}}{\partial t}={\displaystyle \frac{\omega E_0}{c^2}}\sin (kz-\omega t){\mathit{e}}_x$ なので $k{B}_0=\omega E_0/c^2$．2式を掛けると $k^2{E}_0{B}_0={\omega }^2{E}_0{B}_0/c^2$ で

$$\frac{\omega }{k}=c,B_0=\frac{k}{\omega }{E}_0=\frac{E_0}{c}$$

3. $kz-\omega t$ が一定の点は $z=(\omega /k)t+\text{一定}$ と動くので，山は $+z$ 向きに速さ $\omega /k=c$ で進む．

確かめ：単位は $E_0/c$ が $\mathrm{V}{\mathrm{m}}^{-1}/(\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1})=\mathrm{V}\mathrm{s}{\mathrm{m}}^{-2}=\mathrm{T}$ で合う．電荷も電流も無いのに場が光の速さで進むことは，本体の節の「場は自分で伝わる」の具体例で，第26章で詳しく扱う．近似は使っていない．

面と閉じた道の向きをそろえ，伝導電流と変位電流を符号つきで足してください．準静的として扱える条件も確かめましょう．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

内半径 $a$，外半径 $b$ の同じ環状極板2枚を，間隔 $d$ で向かい合わせた真空コンデンサーがあります．面電荷は一様で，電場は環状部分だけで $+z$ 向きと近似します．軸対称な外部回路を通して正極板の電荷が $\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=-I_0$（$I_0>0$）で減少しています．外部回路の帰線は考えるすべての円より外側にあり，円内の積分面を貫く伝導電流はありません．$d/a$，$d/(b-a)$，$max(b,r)/\left(c\tau \right)$ は十分小さいとし，$\tau$ は変化の時間尺度，$c=1/\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}$ とします．

1. 極板間の平面で，軸を中心とする半径 $r$ の円内の変位電流を，$r<a$，$a<r<b$，$r>b$ に分けて求めよ．

2. 同じ円周上の磁場の大きさと向きを求めよ．

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考え方
電束の変化は，円内に含まれる環状面積に比例する．

1. $E=Q/\left[{\epsilon }_0\pi (b^2-a^2)\right]$ より ${\epsilon }_0\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=-I_0/\left[\pi (b^2-a^2)\right]$．含まれる面積を掛けると

$$I_d=\{\begin{array}{ll}0& r<a,\\ -I_0{\displaystyle \frac{r^2-a^2}{b^2-a^2}}& a<r<b,\\ -I_0& r>b.\end{array}$$

2. 反時計回りを正とする接線成分を $B_{\varphi }$ とすると，対称性とアンペール・マクスウェルの法則から $2\pi r{B}_{\varphi }={\mu }_0{I}_d$．したがって大きさは ${\mu }_0\left|I_d\right|/\left(2\pi r\right)$，向きは磁場が0でない所で $+z$ 側から見て時計回りである．$r=a,b$ で連続になる．指定した3つの比が十分小さいことが条件であり，縁では近似が破れうる．$r>b$ の式も帰線より内側に限り，帰線を囲む円ではその伝導電流を加える必要がある．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

端子間の漏れ抵抗をもつコンデンサーに，電圧を一定の速さ $\alpha =\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}$ で変える電源をつなぎます．容量 $C$ と漏れのコンダクタンス $G$ は一定，漏れ電流は $GV$ とします．$V=12\mathrm{V}$ での電源からの電流を測りました．各電流の不確かさは $0.05\mathrm{mA}$，電圧と変化率の不確かさは無視します．

$\alpha$	$-2.0\times {10}^4\mathrm{V}{\mathrm{s}}^{-1}$	$0$	$2.0\times {10}^4\mathrm{V}{\mathrm{s}}^{-1}$
$I$	$0.80\mathrm{mA}$	$1.60\mathrm{mA}$	$2.40\mathrm{mA}$

1. 電荷保存から $I$ と $\alpha$ の関係を導き，$C$ と漏れ抵抗 $1/G$ を求めよ．

2. $C$ の不確かさの最大幅を両端の測定から見積もれ．また，漏れを無視できるか述べよ．

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考え方
蓄積と漏れを直線の傾きと切片から読む．

1. $Q=CV$，$\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=I-GV$ だから $I=C\alpha +GV$．両端の差より $C=(2.40-0.80)\times {10}^{-3}/(4.0\times {10}^4)=4.0\times {10}^{-8}\mathrm{F}$．中央の値から $G=1.60\times {10}^{-3}/12$，したがって $1/G=7.5\times {10}^3\mathrm{\Omega }$．

2. 電流差の最大幅は $0.10\mathrm{mA}$ なので $\delta C=0.10\times {10}^{-3}/(4.0\times {10}^4)=2.5\times {10}^{-9}\mathrm{F}$．増加時だけで $C=I/\alpha$ とすると $1.2\times {10}^{-7}\mathrm{F}$ になってしまう．漏れを無視するには $GV/\left|C\alpha \right|$ が十分小さいことであり，ここではその比が2なので満たさない．

演習 4

オリジナル ★★★☆☆

半径 $a$，単位長さ当たりの巻数 $n$ の十分長い真空ソレノイドに，$\left|t\right|<\tau$ で $I=I_0[1+{(t/\tau )}^2]$ を流します．まず内部の場を一様な $B_z={\mu }_{0}nI$ と近似します．$c=1/\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}$ とします．

1. 内部の半径 $r<a$ での誘導電場の接線成分 $E_{\varphi }$ と変位電流密度 $j_{d\varphi }$ を求めよ．

2. 軸方向の長方形の周回路から，この変位電流が要求する $B_z\left(r\right)-B_z\left(0\right)$ を見積もれ．$t=0$ での一様場に対する相対的な補正と，近似の条件を求めよ．

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考え方
まず磁束の変化から電場を出し，それを変位電流として磁場へ戻す．

1. $2\pi r{E}_{\varphi }=-\pi r^2\frac{\mathrm{d}{B}_z}{\mathrm{d}t}$ より $E_{\varphi }=-{\mu }_{0}n{I}_{0}rt/{\tau }^2$．したがって $j_{d\varphi }={\epsilon }_0\frac{\partial E_{\varphi }}{\partial t}=-{\epsilon }_0{\mu }_{0}n{I}_{0}r/{\tau }^2$．

2. 長方形の軸方向の長さを $\ell$ とすると $\ell [B_z\left(0\right)-B_z\left(r\right)]={\mu }_0\ell {\int }_0^r{j}_{d\varphi }\left(s\right)\mathrm{d}s$．積分して $B_z\left(r\right)-B_z\left(0\right)={\mu }_{0}n{I}_0{r}^2/\left(2c^2{\tau }^2\right)$．$t=0$ の一様場 ${\mu }_{0}n{I}_0$ に対する最大の相対補正は $a^2/\left(2c^2{\tau }^2\right)$ である．これは補正の先頭項である．$a/\left(c\tau \right)$ が十分小さいときだけ，変位電流による補正を無視できる．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

真空領域の場の候補を $\mathit{E}=\alpha tx{\mathit{e}}_y$，$\mathit{B}=-\alpha t^2{\mathit{e}}_z/2$ とします．${\mathit{e}}_x,{\mathit{e}}_y,{\mathit{e}}_z$ は右手系の単位ベクトル，$\alpha$ は定数（単位 $\mathrm{V}{\mathrm{m}}^{-2}{\mathrm{s}}^{-1}$）です．

1. ガウスの2法則とファラデーの法則を微分形で確かめ，必要な電荷密度 $\rho$ を求めよ．

2. アンペール・マクスウェルの法則から伝導電流密度を求め，電荷保存を確かめよ．電荷も電流もない領域の場として採用できるか．

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考え方
各法則に必要な電荷と電流を確かめる．

1. $\mathbf{\nabla }\mathbf{\cdot }\mathit{E}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\alpha tx\right)=0$ より $\rho =0$．一様な磁場なので $\mathbf{\nabla }\mathbf{\cdot }\mathit{B}=0$．また $\mathbf{\nabla }\times \mathit{E}=\alpha t{\mathit{e}}_z=-\frac{\partial \mathit{B}}{\partial t}$ で，ファラデーの法則を満たす．

2. $\mathbf{\nabla }\times \mathit{B}=0={\mu }_0\mathit{j}+{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \mathit{E}}{\partial t}$ より $\mathit{j}=-{\epsilon }_0\alpha x{\mathit{e}}_y$．$\mathbf{\nabla }\mathbf{\cdot }\mathit{j}=0=-\frac{\partial \rho }{\partial t}$ で電荷保存も満たすが，$\alpha \ne 0$ なら一般の $x$ で電流が必要である．したがって電流のない領域の場としては採用できない．${\epsilon }_0\alpha x$ の単位は $\mathrm{A}{\mathrm{m}}^{-2}$ となる．

問い

電池に電熱線をつなぐと，電熱線は熱くなります．電熱線で熱になったエネルギーは，もとは電池にあったはずです．そのエネルギーは，電池から電熱線まで，導線の中を通って届くのでしょうか．届くとしたら，導線の中の何が運んでいるのでしょうか．

考えてみる

水車を回す水のように，導線の中の電子がエネルギーを運ぶと考えたくなります．けれども，第21章で見たように，導線の中の電子は1秒に $0.1\mathrm{mm}$ ほどしか進みません．しかも電子は回路を一周して電池に戻ってくるので，行きの導線で運んだ分を帰りの導線で持ち帰ることになります．交流では電子はその場で行ったり来たりするだけなのに，エネルギーは発電所から家庭へ一方向に届きます．電子がエネルギーを運ぶ，という描像はうまくいきません．

ここで，第21章の電荷の保存を思い出します．ある所で電荷が減れば，その分は必ずまわりの面を通って流れ出ていて，離れた所で消えて別の所に現れることはありません．エネルギーも同じように「その場で」保存すると考えるなら，エネルギーがどこにどれだけあるか（密度）と，どこをどれだけ流れるか（流れ）を，場で表す必要があります．

場のエネルギー密度

第20章で，平行板コンデンサー（極板の面積 $A$，間隔 $d$）に蓄えられるエネルギーを，極板の間の体積 $Ad$ あたりに直すと ${\displaystyle \frac{1}{2}}{\epsilon }_0{E}^2$ になることを見ました．第23章では，ソレノイドのエネルギー ${\displaystyle \frac{1}{2}}L{I}^2$ を内部の体積あたりに直すと ${\displaystyle \frac{B^2}{2{\mu }_0}}$ でした．どちらも，エネルギーが導体や電荷にではなく，場のある空間に蓄えられていると見ることができます．

大きさを比べます．空気が絶縁を保てる上限に近い $E=1\times {10}^6\mathrm{V}{\mathrm{m}}^{-1}$ でも $u_E\approx 4\mathrm{J}{\mathrm{m}}^{-3}$ ですが，実験室で作れる $B=1\mathrm{T}$ なら $u_B\approx 4\times {10}^5\mathrm{J}{\mathrm{m}}^{-3}$ です．2つが等しくなるのは $B=E/c$ のときで，電磁波ではちょうどこの関係になります（第26章）．

エネルギーの保存を場で書く

ある領域 $V$ の中の場のエネルギーが減るのは，境界の面からエネルギーが流れ出すか，場が中の電荷に仕事をするかのどちらかです．場が電荷にする仕事率は，速度 $\mathit{v}$ の電荷 $q$ について $q\mathit{E}\mathbf{\cdot }\mathit{v}$ です（磁気力は速度に垂直で仕事をしない）．単位体積あたりに直すと，電荷密度と速度の積が電流密度 $\mathit{j}$ なので $\mathit{j}\mathbf{\cdot }\mathit{E}$ です．面を通るエネルギーの流れを，単位時間に単位面積を通るエネルギー $\mathit{S}$（単位 $\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$）で表すと

となるはずです．右辺の1つ目は領域を囲む閉じた面全体で外向きにとった流束です．各点の式に直すと $\partial u/\partial t+\mathbf{\nabla }\mathbf{\cdot }\mathit{S}=-\mathit{j}\mathbf{\cdot }\mathit{E}$ で，電荷の連続の式に，電荷に渡す分の項が付いた形です．

問題は，この式を満たす $\mathit{S}$ が本当にあるかです．$u$ を時間で微分し，アンペール・マクスウェルの法則で ${\epsilon }_0\partial \mathit{E}/\partial t$ を，ファラデーの法則で $\partial \mathit{B}/\partial t$ を書きかえると

です．かっこの中は $-\mathbf{\nabla }\mathbf{\cdot }(\mathit{E}\times \mathit{B})$ に等しい（数学の節）ので，次の定理が出ます．

エネルギーは $\mathit{E}$ と $\mathit{B}$ の両方に垂直な向きに流れます．$\mathit{j}\mathbf{\cdot }\mathit{E}$ は，抵抗の中では $\mathit{j}=\gamma \mathit{E}$ から $\gamma E^2$ で正（場から熱へ），電池の中では電荷が電場に逆らって押されるので負（化学のエネルギーから場へ）です．なお，閉じた面全体の流束を変えずに $\mathit{S}$ に発散が0の項を足しても保存の式は成り立つので，$\mathit{S}$ は一意には決まりません．ここでは，相対論とも合う最も簡単な $\mathit{E}\times \mathit{B}/{\mu }_0$ を使います．この式は真空での式で，誘電体や磁性体の中では形が変わりますが，この本では扱いません．

静的な場でも $\mathit{S}$ は0とは限りません．点電荷のそばに磁石を置くと $\mathit{E}\times \mathit{B}$ は0でなく，エネルギーは閉じた道をぐるぐる回っています．どの閉じた面でも出入りがつり合うので，どこにもたまりません．