問い

木から離れたリンゴは，地球に引かれて真下に落ちます．では夜空の月はどうでしょうか．月も同じ地球の引力を受けているなら，月は地球に向かって落ち続けているはずです．ところが，月が地面に落ちてくることはありません．なぜ月は落ちてこないのでしょうか．また，リンゴを落とす力と月を引く力は，同じ力なのでしょうか．

考えてみる

リンゴを手から離すと真下に落ち，水平に投げると放物線を描いて少し離れた所に落ちます．強く投げるほど遠くに落ちるので，もっと強く投げれば，もっと遠くに落ちるはずです．地球は丸いので，地面は遠くへ行くほど下へ曲がっていきます．落ちる間に地面のほうが先に遠ざかるほど速く投げたら，ボールはどうなるのでしょうか．

月に当てはめると，月は慣性で直進しようとし，その進路が地球の引力で曲げられ続けているとも読めます．これが正しいかは，引力の大きさが距離とともにどう変わるかで決まります．それを教えてくれたのが，惑星の運動の観測です．

ケプラーの3法則

ケプラーは，ティコ・ブラーエが長年かけて集めた火星などの精密な観測を整理して，惑星の運動に3つの規則を見つけました．

これらは観測から見つかった事実で，当時はなぜそうなるのかが分かっていませんでした．第2法則は，近日点（太陽に近い点）では速く，遠日点では遅く動くことを意味します．なお第3法則の共通の値は，惑星の質量が太陽よりずっと小さく，太陽が動かないとみなせる近似での関係です．

第8章で見たとおり，中心力だけを受ける質点では角運動量 $L$ が保存し，面積速度 $L/(2m)$ が一定です．逆にいえば，面積速度が一定だという第2法則は，惑星に働く力が常に太陽と惑星を結ぶ直線に沿うこと（中心力であること）を教えています．太陽に向かう引力か，遠ざける斥力かは第2法則だけでは決まらず，惑星が太陽のまわりに曲がって回ることから，引力だと分かります．

第3法則から逆2乗則を読む

ほとんどの惑星の軌道は円に近いので，半径 $r$，周期 $T$ の等速円運動で近似します．向心加速度の大きさは $a_{\text{向心}}=r{\omega }^2=4{\pi }^{2}r/T^2$ です．第3法則を，すべての惑星に共通の定数 $k$ を使って $T^2=k{r}^3$ と書くと

となり，加速度は距離の2乗に反比例します．惑星の質量を $m$ とすれば，太陽が惑星に及ぼす力は $F=m{a}_{\text{向心}}=(4{\pi }^2/k)m/r^2$ で，$m$ に比例します．作用・反作用により，惑星が太陽を引く力も同じ大きさです．惑星の質量に比例するなら，太陽の質量 $M$ にも比例すると考えるのが対称的です．ニュートンはこれをすべての物体に広げました．

「万有」とは，あらゆる物体の間に働くという意味です．リンゴと地球の間にも，机の上の2冊の本の間にも働きますが，後者は小さすぎて気づきません．地球のような球は，外から見ると全質量が中心に集まった質点と同じに扱えます．この事実は，この章の後の節で証明します．

地表の重力と地球の質量

質量 $m$ の物体が地表（地球の中心から $R$）で受ける重力が万有引力だとすれば，地球の質量を $M$ として $mg=GMm/R^2$ です．

重力加速度 $g$ は，物体の質量によらず，地球の質量と半径だけで決まります．これで，質量によらず同じ加速度で落ちる理由もわかります．高さ $h$ では $g$ は $GM/(R+h{)}^2$ に減ります．月の距離は地球の半径の約60倍なので，そこでの値は $g$ の $1/{60}^2$ のはずで，約 $2.7\times {10}^{-3}\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$ です．これが月の実際の向心加速度と合うことは，次の節で確かめます．

重ね合わせの原理

物体が3つ以上あるときは，その物体が受ける力を，ほかの物体それぞれからの万有引力のベクトル和として求めます．

月は地球に引かれると同時に太陽にも引かれ，その合力で動きます．

キャベンディッシュの実験

ニュートンの時代には，$G$ の値は測られていませんでした．1798年にキャベンディッシュは，細い糸で水平につるした棒の両端に小さな鉛球をつけ，大きな鉛球を近づけて，棒がわずかにねじれるのを測りました．

質量 $1\mathrm{kg}$ の2つの物体を $1\mathrm{m}$ 離したときの力は $6.67\times {10}^{-11}\mathrm{N}$ にすぎず，これを測るのは大変な仕事でした．$G$ が分かると，$g=GM/R^2$ から地球の質量 $M=g{R}^2/G$ が求まります．この実験が「地球の重さを量った」と言われるのはそのためです．

月は落ち続けている

地表すれすれを水平に飛ぶ物体が円軌道を描くとして，運動方程式 $m{v}^2/R=mg$ を解くと，$v=\sqrt{gR}\approx 7.9\times {10}^3\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$（第一宇宙速度）です．これより遅ければ地面に落ち，この速さなら落ち続けながら地面に届きません．月の場合は，中心までの距離 $r=3.84\times {10}^8\mathrm{m}$ での円運動の式から $v=\sqrt{GM/r}$ になります．地表では $GMm/R^2=mg$ なので $GM=g{R}^2$ で，月までの距離は地球の半径の約60倍（$r\approx 60R$）だから，$v=\sqrt{g{R}^2/r}=\sqrt{gR}/\sqrt{60}\approx 7.9\times {10}^3/7.7\approx 1.0\times {10}^3\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ です．月は，地球に引かれて落ち続けながら，横向きに進む速さのために地面に届かないのです．

円運動の運動方程式から第3法則を導き，ニュートンの「月の落下」を数で確かめます．

円軌道の運動方程式

質量 $M$ の天体のまわりを，質量 $m$ の物体が半径 $r$ の等速円運動をしているとします．$m$ は $M$ よりずっと小さく，天体は動かないとみなします．向心方向の運動方程式は

です．$m$ が消えて $v=\sqrt{GM/r}$．周期は $T=2\pi r/v$ なので

です．この近似のもとで，右辺は $m$ にも $r$ にもよらず，中心の天体の質量 $M$ だけで決まります（天体の動きまで考えると $M$ は $M+m$ になり，周回する物体の質量もわずかに入ります）．太陽のまわりの惑星では $M$ が共通なので，これがケプラーの第3法則です．楕円軌道では $r$ が長半径 $a$ に変わって同じ式が成り立ちます（後の節）．

ニュートンの月の落下

月までの距離 $r=3.84\times {10}^8\mathrm{m}$ は，地球の半径 $R=6.37\times {10}^6\mathrm{m}$ の約 $60.3$ 倍です．力が距離の2乗に反比例するなら，月の位置での重力加速度は地表の値 $g=9.8\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$ の $1/{60.3}^2$ 倍なので

です．一方，月の公転周期は約 $27.3$ 日 $=2.36\times {10}^6\mathrm{s}$ なので，実際の値は

です．2つの値はよく一致し，地表の重力と月を回す力は同じ万有引力で説明できます．

1秒間に月は接線方向に約 $1.0\mathrm{km}$ 進み，その間に地球へ $\frac{1}{2}a{t}^2\approx 1.4\mathrm{mm}$ だけ落ちます．この小さな落下が毎瞬続くので，月は直進せず円を描きます．

例題

例題 1

オリジナル ★★☆☆☆

地表の重力加速度を $g=9.8\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$，地球の半径を $R=6.37\times {10}^6\mathrm{m}$ とする．自転の影響は無視し，万有引力定数を $G=6.67\times {10}^{-11}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2{\mathrm{kg}}^{-2}$ とする．

1. 地球の質量 $M$ を求めよ．

2. 地球の平均密度を求めよ．

解答を見る

考え方 地表の重力が万有引力であるとして，$mg=GMm/R^2$ を $M$ について解く．

1. $M={\displaystyle \frac{g{R}^2}{G}}={\displaystyle \frac{9.8\times (6.37\times {10}^6{)}^2}{6.67\times {10}^{-11}}}\approx 5.96\times {10}^{24}\mathrm{kg}$．

2. 体積 $\frac{4}{3}\pi R^3\approx 1.08\times {10}^{21}{\mathrm{m}}^3$ で割って $5.5\times {10}^3\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-3}$．地表の岩石（約 $3\times {10}^3\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-3}$）より大きく，内部はもっと密だと分かる．

例題 2

オリジナル ★★☆☆☆

地球は太陽のまわりを半径 $1.50\times {10}^{11}\mathrm{m}$，周期 $1$ 年 $=3.16\times {10}^7\mathrm{s}$ の円軌道で回っているとする．万有引力定数を $G=6.67\times {10}^{-11}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2{\mathrm{kg}}^{-2}$，地球の質量を $5.97\times {10}^{24}\mathrm{kg}$ とする．

太陽の質量を求め，地球の質量の何倍かを答えよ．

解答を見る

考え方 円軌道の式を，中心の天体（太陽）の質量 $M$ について解く．

$M={\displaystyle \frac{4{\pi }^2{r}^3}{G{T}^2}}={\displaystyle \frac{4{\pi }^2\times (1.50\times {10}^{11}{)}^3}{6.67\times {10}^{-11}\times (3.16\times {10}^7{)}^2}}\approx 2.0\times {10}^{30}\mathrm{kg}$．地球の質量の ${\displaystyle \frac{2.0\times {10}^{30}}{5.97\times {10}^{24}}}\approx 3.4\times {10}^5$ 倍．

例題 3

オリジナル ★★★☆☆

赤道上空で，地上から見て静止して見える人工衛星（静止衛星）を考える．地球の質量を $5.97\times {10}^{24}\mathrm{kg}$，半径を $6.37\times {10}^6\mathrm{m}$ とし，衛星の周期は地球の自転周期に等しく $24$ 時間（$8.64\times {10}^4\mathrm{s}$）としてよい．

1. 軌道半径 $r$（地球の中心から）を求めよ．

2. 地表からの高さを求めよ．

3. 衛星の速さを求めよ．

解答を見る

考え方 円軌道の式 $T^2/r^3=4{\pi }^2/(GM)$ を $r$ について解く．

1. $GM=6.67\times {10}^{-11}\times 5.97\times {10}^{24}=3.98\times {10}^{14}{\mathrm{m}}^3{\mathrm{s}}^{-2}$．

$$r^3=\frac{GM{T}^2}{4{\pi }^2}=\frac{3.98\times {10}^{14}\times (8.64\times {10}^4{)}^2}{4{\pi }^2}\approx 7.53\times {10}^{22}{\mathrm{m}}^3$$

より，$r\approx 4.22\times {10}^7\mathrm{m}$．

2. $r-R\approx 3.6\times {10}^7\mathrm{m}$（約 $36000\mathrm{km}$）．

3. $v={\displaystyle \frac{2\pi r}{T}}={\displaystyle \frac{2\pi \times 4.22\times {10}^7}{8.64\times {10}^4}}\approx 3.1\times {10}^3\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$．

距離は天体の中心から測り，力と加速度を区別して考えましょう．特に断らない限り，天体は球対称で自転せず，衛星の質量は中心天体に比べて十分小さいとします．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

半径 $R$ の惑星の地表で，重力加速度は $g=9.8\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$ である．

1. 地表から高さ $R$ の点での重力加速度を求めよ．

2. その点にある質量 $2.0\mathrm{kg}$ と $6.0\mathrm{kg}$ の物体について，重力の大きさと落下加速度を比べよ．

解答を見る

考え方 逆2乗則に入れる距離は高度ではない．まず中心距離を $r=R+h$ と書き，$g=GM/R^2$ との比をとる．

1. $h=R$ では $r=2R$ だから，$g(r)/g=R^2/(2R{)}^2=1/4$．よって $g(r)=2.45\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$，与えられた精度では約 $2.5\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$ である．

2. 力は $F=mg(r)$ なので，順に $4.9\mathrm{N}$，約 $15\mathrm{N}$ であり，質量の比と同じく1対3である．一方，運動方程式で力をそれぞれの質量で割ると，加速度は両方とも $g(r)$ になる．重い物体ほど強く引かれることと，同じ場所で同じ加速度をもつことは両立する．高さが変われば共通の加速度そのものは変わる．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

地球のまわりを半径 $r=8.0\times {10}^6\mathrm{m}$ の円軌道で回る衛星を考える．$GM=3.98\times {10}^{14}{\mathrm{m}}^3{\mathrm{s}}^{-2}$ とする．

1. 速さと周期を求めよ．

2. 衛星内で自由に浮いている小球に重力は働いているか．「無重量」と円運動の関係を説明せよ．

解答を見る

考え方 衛星を円運動させる力が万有引力である．室内の小球にもほぼ同じ重力加速度が働くため，床で支える必要がない．

1. $m{v}^2/r=GMm/r^2$ から $v=\sqrt{GM/r}=\sqrt{4.975\times {10}^7}\approx 7.1\times {10}^3\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$．したがって $T=2\pi r/v\approx 7.1\times {10}^3\mathrm{s}$，約 $1.2\times {10}^2$ 分である．周期の式 $T=2\pi \sqrt{r^3/(GM)}$ に直接代入してもよい．

2. 小球の重力加速度は $GM/r^2\approx 6.2\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$ で，0ではない．衛星も小球も地球へ落下し続け，ほぼ同じ軌道を進むので，小球を床へ押し付ける支えの力がほとんど生じない．体重計が測るのはこの支えの力である．室内の大きさによる重力の差を無視する範囲で無重量となるのであり，地球の引力が消えるわけではない．

演習 4

オリジナル ★★☆☆☆

同じ恒星を回る彗星の近日点距離は $r_p=d$，遠日点距離は $r_a=5d$ である．近日点の速さを $v_p$ とする．

1. 遠日点の速さ $v_a$ を求めよ．

2. 近日点と遠日点のまわりの十分短い等時間に進む弧の長さの比と，中心から見た角変位の比を求めよ．

解答を見る

考え方 保存されるのは速さではなく面積速度である．両端点で速度は中心からの位置ベクトルと直交するので，$L=mrv$ を使える．

1. $md{v}_p=m(5d)v_a$ より $v_a=v_p/5$．引力が常に中心を向くので，その中心まわりの力のモーメントが0になることが保存の根拠である．

2. 同じ短時間 $\mathrm{\Delta }t$ の弧長は $v\mathrm{\Delta }t$ だから，近日点側対遠日点側は5対1である．一方，角変位は $\mathrm{\Delta }\theta \approx v\mathrm{\Delta }t/r$ なので比は $(v_p/d)/(v_a/(5d))=25$．角運動量を $L=m{r}^2\dot{\theta }$ と書けば，角速度が距離の2乗に反比例することからも求まる．面積は近似的に $r^2\mathrm{\Delta }\theta /2$ であり，半径の2乗の比と角度の比が打ち消す．有限の長い時間では速さの変化を含めた面積で比較しなければならない．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

一直線上の $x=0$ に質量 $M$，$x=d$ に質量 $4M$ の質点を固定する．その間に質量の無視できる試験粒子を置く．

1. 重力がつり合う位置 $x_0$ を求めよ．

2. その位置から直線に沿って微小変位 $\xi$ を与えると，つり合いは安定か．加速度を $\xi$ の1次まで求めよ．$\left|\epsilon \right|$ が1より十分小さいとき $(1+\epsilon {)}^{-2}\approx 1-2\epsilon$，または $f(x_0+\xi )\approx f(x_0)+f^{\prime }(x_0)\xi$ を使ってよい．

解答を見る

考え方 向きの異なる2つの重力を引き算し，つり合い点の近くでどちらが強まるかを調べる．ここで天体は外部の装置で固定されており，公転する2天体ではない．

1. 右向き加速度は $f(x)=4GM/(d-x{)}^2-GM/x^2$．$f(x_0)=0$ から $2/(d-x_0)=1/x_0$ となり，$x_0=d/3$ である．重い天体から遠い側に位置する．

2. 微分すると $f^{\prime }(x)=8GM/(d-x{)}^3+2GM/x^3$．$x_0=d/3$ で $f^{\prime }(x_0)=27GM/d^3+54GM/d^3=81GM/d^3$ なので，$\ddot{\xi }\approx (81GM/d^3)\xi$．右へずれると右向き，左へずれると左向きに加速し，ずれが拡大するので不安定である．つり合いとはその点で合力が0という条件であり，戻す力があるという意味ではない．粒子の質量は加速度の式から消えるため，この安定性は試験粒子の質量によらない．

問い

なめらかな水平の板の穴に糸を通し，板の上で円運動する小球の糸を下からゆっくり引くと，小球はだんだん速く回ります．第8章では，角運動量の保存から，半径を3分の1にすると速さが3倍になることを確かめました．ところが，糸が小球を引く力はいつも穴の方を向いていて，小球が回る向きの成分はありません．回る向きに押す力がないのに，なぜ速さが増えるのでしょうか．

考えてみる

中心のまわりを回る運動は，$x$，$y$ の成分より，「中心からの距離 $r$」と「向き $\theta$」で表すほうが自然です．素朴には，回る向きの加速度は第3章の円運動の接線加速度 $r\frac{\mathrm{d}\omega }{\mathrm{d}t}$ だと考えたくなります．もしそうなら，回る向きの力がない小球の角速度は変わらないはずです．しかし実際には，半径が3分の1になると角速度は9倍になります．

困った原因は，「中心向き」と「回る向き」という向きそのものが，小球が動くにつれて回っていくことにあります．$x$ 軸，$y$ 軸の向きは場所によらないので，成分を微分すればそのまま加速度の成分になりました．向きが変わる方向に分けるときは，向きの変化まで微分に入れなければなりません．

極座標と単位ベクトル

平面上の点 P の位置を，原点 O からの距離 $r$ と，$x$ 軸から反時計回りに測った角 $\theta$（ラジアン）で表すのが極座標です．直交座標とは $x=r\cos \theta$，$y=r\sin \theta$ の関係にあります．たとえば $(r,\theta )=(2,{\displaystyle \frac{\pi }{3}})$ の点は $(x,y)=(1,\sqrt{3})$ です．

$\theta =0$ の点では ${\mathit{e}}_r=(1,0)$，${\mathit{e}}_{\theta }=(0,1)$ ですが，$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ の点では ${\mathit{e}}_r=(0,1)$，${\mathit{e}}_{\theta }=(-1,0)$ です．同じ名前の単位ベクトルでも，場所によって向きが違います．

単位ベクトルの時間変化

短い時間 $\mathrm{\Delta }t$ に角が $\mathrm{\Delta }\theta$ だけ増えたとします．${\mathit{e}}_r$ は長さ1のまま $\mathrm{\Delta }\theta$ だけ回るので，その先端は半径1の円の上を弧の長さ $\mathrm{\Delta }\theta$ だけ，ほぼ ${\mathit{e}}_{\theta }$ の向きに動きます．よって $\mathrm{\Delta }{\mathit{e}}_r\approx \mathrm{\Delta }\theta {\mathit{e}}_{\theta }$ です．同じように ${\mathit{e}}_{\theta }$ の先端は $-{\mathit{e}}_r$ の向きに動き，$\mathrm{\Delta }{\mathit{e}}_{\theta }\approx -\mathrm{\Delta }\theta {\mathit{e}}_r$ です．$\mathrm{\Delta }t$ で割って $\mathrm{\Delta }t\to 0$ とすると次の式になります．成分の計算での確かめは次の節で行います．

速度と加速度

$\mathit{r}=r{\mathit{e}}_r$ を積の微分で時間微分すると，$\mathit{v}=\dot{r}{\mathit{e}}_r+r{\dot{\mathit{e}}}_r=\dot{r}{\mathit{e}}_r+r\dot{\theta }{\mathit{e}}_{\theta }$ です．$\dot{r}$ は中心から離れていく速さ，$r\dot{\theta }$ は回る向きの速さで，$v^2={\dot{r}}^2+r^2{\dot{\theta }}^2$ です．$r$ が一定なら第3章の $v=r\omega$ に戻ります．もう一度微分した結果は次のとおりです（計算は次の節）．

$-r{\dot{\theta }}^2$ は第3章の向心加速度，$r\ddot{\theta }$ は角速度の変化による項です．素朴な予想になかったのが $2\dot{r}\dot{\theta }$ で，半分は動径方向の速度 $\dot{r}{\mathit{e}}_r$ が ${\mathit{e}}_r$ とともに回されて ${\mathit{e}}_{\theta }$ の向きに曲がる分，残りの半分は半径が変わって回る向きの速さ $r\dot{\theta }$ が変わる分です．$r$ が一定なら $\mathit{a}=-r{\dot{\theta }}^2{\mathit{e}}_r+r\ddot{\theta }{\mathit{e}}_{\theta }$ となり，第3章の円運動の式（中心向きに $r{\omega }^2$，接線方向に $r\frac{\mathrm{d}\omega }{\mathrm{d}t}$）に戻ります．

中心力と $r^2\dot{\theta }$

中心力 $\mathit{F}=F{\mathit{e}}_r$ では，運動方程式の ${\mathit{e}}_{\theta }$ 成分が ${\displaystyle \frac{m}{r}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(r^2\dot{\theta }\right)=0$ なので，$r^2\dot{\theta }$ は一定です．位置ベクトルに垂直な速度成分は $r\dot{\theta }$ なので，角運動量の大きさは $L=m{r}^2\dot{\theta }$ で，これは第8章の角運動量の保存そのものです．短い時間 $\mathrm{d}t$ に位置ベクトルが掃く細い扇形の面積は $\frac{1}{2}{r}^2\mathrm{d}\theta$ なので，面積速度 $\frac{1}{2}{r}^2\dot{\theta }={\displaystyle \frac{L}{2m}}$ も一定です．${\mathit{e}}_r$ 成分の式 $m(\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2)=F$ は，このあとの題材で軌道を調べるのに使います．

問いに戻る

糸の力は中心向きなので $r^2\dot{\theta }$ が一定で，半径が3分の1になれば $\dot{\theta }$ は9倍，$r\dot{\theta }$ は3倍です．回る向きの加速度 $r\ddot{\theta }+2\dot{r}\dot{\theta }$ は0ですが，$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(r\dot{\theta }\right)=\dot{r}\dot{\theta }+r\ddot{\theta }=-\dot{r}\dot{\theta }$ で，糸を引いている間（$\dot{r}<0$）は正です．${\mathit{e}}_{\theta }$ の向きが回っているので，その成分の加速度が0でも，速度の ${\mathit{e}}_{\theta }$ 成分は一定ではないのです．

エネルギーで見ると，糸を引いている間の小球は円ではなく内向きのうずまきを描き，速度には中心向きの成分 $\dot{r}$ があります．速度は糸に垂直ではなく，張力 $T$ の仕事率 $-T{\mathit{e}}_r\cdot \mathit{v}=-T\dot{r}$ は正です．「回る向きの成分がない」のは正しくても，小球が進む向きは円の接線方向ではなかったのです．

前の節で図から読んだ単位ベクトルの微分を成分で確かめ，加速度と面積速度の式を導きます．

加速度の式を導く

$\mathit{v}=\dot{r}{\mathit{e}}_r+r\dot{\theta }{\mathit{e}}_{\theta }$ を項ごとに積の微分で微分します．第2項は $r$，$\dot{\theta }$，${\mathit{e}}_{\theta }$ の3つの積なので，1つずつ微分して足します．

足して向きごとにまとめると $\mathit{a}=(\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2){\mathit{e}}_r+(r\ddot{\theta }+2\dot{r}\dot{\theta }){\mathit{e}}_{\theta }$ です．$\dot{r}\dot{\theta }$ が2回現れたのが $2\dot{r}\dot{\theta }$ の2の出どころです．$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(r^2\dot{\theta }\right)=2r\dot{r}\dot{\theta }+r^2\ddot{\theta }$ なので，${\mathit{e}}_{\theta }$ 成分は ${\displaystyle \frac{1}{r}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(r^2\dot{\theta }\right)$ とも書けます．

直交座標からも確かめられます．$x=r\cos \theta$ を2回微分すると $\ddot{x}=(\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2)\cos \theta -(r\ddot{\theta }+2\dot{r}\dot{\theta })\sin \theta$ で，$\ddot{y}$ も同様です．これは ${\mathit{e}}_r$，${\mathit{e}}_{\theta }$ の $x$ 成分にそれぞれの係数を掛けた和で，上の結果と一致します．

面積速度との関係

第8章の面積速度 ${\displaystyle \frac{1}{2}}(x\dot{y}-y\dot{x})$ に，$\dot{x}=\dot{r}\cos \theta -r\dot{\theta }\sin \theta$，$\dot{y}=\dot{r}\sin \theta +r\dot{\theta }\cos \theta$ を代入すると，$\dot{r}$ の項は打ち消し合って

となります．面積速度は $\frac{1}{2}{r}^2\dot{\theta }$ で，前の節の扇形の考え方と一致します．逆に，直交座標で与えられた運動の $\dot{\theta }$ を，角を求めずに $\dot{\theta }={\displaystyle \frac{x\dot{y}-y\dot{x}}{r^2}}$ と計算することもできます．

例題

例題 1

オリジナル ★★☆☆☆

なめらかな水平の板の穴 O に通した糸の先に質量 $m$ の小球を結び，穴の下で糸を一定の速さ $u$ で引き続ける．小球の O からの距離は $r=r_0-ut$ で，$t=0$ での角速度は ${\omega }_0$ である．

1. 角速度 $\dot{\theta }$ と糸の張力 $T$ を $r$ で表せ．

2. 運動エネルギー $K$ の増える割合が，糸の力の仕事率に等しいことを確かめよ．

解答を見る

考え方 糸の力は O を向くので $r^2\dot{\theta }$ が一定．張力は ${\mathit{e}}_r$ 成分の運動方程式から出す．

1. $r^2\dot{\theta }=r_0^2{\omega }_0$ より $\dot{\theta }={\displaystyle \frac{r_0^2{\omega }_0}{r^2}}$．$\dot{r}=-u$，$\ddot{r}=0$ なので，$m(\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2)=-T$ より $T=mr{\dot{\theta }}^2={\displaystyle \frac{m{r}_0^4{\omega }_0^2}{r^3}}$．

2. $K={\displaystyle \frac{1}{2}}m({\dot{r}}^2+r^2{\dot{\theta }}^2)={\displaystyle \frac{1}{2}}m(u^2+{\displaystyle \frac{r_0^4{\omega }_0^2}{r^2}})$．$u$ は一定なので，連鎖律で $\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}={\displaystyle \frac{1}{2}}m{r}_0^4{\omega }_0^2\cdot (-{\displaystyle \frac{2}{r^3}})\dot{r}={\displaystyle \frac{m{r}_0^4{\omega }_0^{2}u}{r^3}}$．糸の力の仕事率は $-T{\mathit{e}}_r\cdot \mathit{v}=-T\dot{r}=Tu$ で，(1)の $T$ を入れると一致する．

例題 2

オリジナル ★★☆☆☆

水平面内で，質量 $m$ の小さな台車 P が，一定の角速度 $\omega$ で回る棒に沿って，中心 O から一定の速さ $u$ で外へ走る．P の位置は $r=ut$，$\theta =\omega t$ である．

1. P の速度と加速度を ${\mathit{e}}_r$，${\mathit{e}}_{\theta }$ で表せ．

2. P に働く力の合力の ${\mathit{e}}_{\theta }$ 成分を求め，それを及ぼしているものを答えよ．

解答を見る

考え方 $\dot{r}=u$，$\ddot{r}=0$，$\dot{\theta }=\omega$，$\ddot{\theta }=0$ を極座標の式に入れる．

1. $\mathit{v}=u{\mathit{e}}_r+u\omega t{\mathit{e}}_{\theta }$，$\mathit{a}=-u{\omega }^{2}t{\mathit{e}}_r+2u\omega {\mathit{e}}_{\theta }$．軌跡 $r={\displaystyle \frac{u}{\omega }}\theta$ は，1周ごとに ${\displaystyle \frac{2\pi u}{\omega }}$ ずつ広がるうずまきである．

2. $F_{\theta }=2mu\omega$．角速度が一定でも，外へ出るほど回る向きの速さ $r\omega$ が増えるので，回る向きの力が要る．それを及ぼすのは棒で，棒が P を回る向きに押している．この $2mu\omega$ は，第11章で回る棒の上から見た運動を考えるとき，もう一度現れる．

例題 3

オリジナル ★★★☆☆

力を受けない点 P が，時刻 $t$ に $(b,v_{0}t)$（$b>0$）にあり，直線 $x=b$ の上を一定の速さ $v_0$ で進む．原点 O を中心とする極座標で見る．

1. $r^2\dot{\theta }$ が一定であることを示し，図の三角形を使って面積速度が一定であることを説明せよ．

2. $\ddot{r}$ は0でないのに，$\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2=0$ であることを確かめよ．

解答を見る

考え方 $r^2\dot{\theta }=x\dot{y}-y\dot{x}$ を使えば角を求めずにすむ．$r=\sqrt{b^2+v_0^2{t}^2}$ は連鎖律で微分する．

1. $\dot{x}=0$，$\dot{y}=v_0$ より $r^2\dot{\theta }=b{v}_0$ で一定．時間 $\mathrm{\Delta }t$ に P が進む区間 $v_0\mathrm{\Delta }t$ を底辺とする三角形の高さは，いつも O から直線までの距離 $b$ なので，面積は $\frac{1}{2}b{v}_0\mathrm{\Delta }t$ で変わらない．力が0は中心力の特別な場合である．

2. $\dot{r}={\displaystyle \frac{v_0^{2}t}{r}}$．積の微分と $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\displaystyle \frac{1}{r}}=-{\displaystyle \frac{\dot{r}}{r^2}}$ を使って

$$\ddot{r}=\frac{v_0^2}{r}-\frac{v_0^{2}t\dot{r}}{r^2}=\frac{v_0^2(r^2-v_0^2{t}^2)}{r^3}=\frac{b^2{v}_0^2}{r^3}$$

である．平方根や分数を微分せずに，$r^2=b^2+v_0^2{t}^2$ の両辺を $t$ で微分してもよい．$2r\dot{r}=2v_0^{2}t$ より $r\dot{r}=v_0^{2}t$，これをもう一度積の微分で微分すると ${\dot{r}}^2+r\ddot{r}=v_0^2$ なので

$$\ddot{r}=\frac{v_0^2-{\dot{r}}^2}{r}=\frac{v_0^2}{r}(1-\frac{v_0^2{t}^2}{r^2})=\frac{b^2{v}_0^2}{r^3}$$

となり，同じ結果になる．

一方 $\dot{\theta }={\displaystyle \frac{b{v}_0}{r^2}}$ より $r{\dot{\theta }}^2={\displaystyle \frac{b^2{v}_0^2}{r^3}}$ で，$\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2=0$ となり，力が無いことと合う．$\ddot{r}$ だけを動径方向の加速度と思うと，ありもしない力を考えてしまう．